Qanday qilib birlashtirish kerak

Integratsiya bu differentsiatsiyaning teskari ishlashidir. Odatda, tabaqalashtirish - bu fan, integratsiya - bu san'at. Sababi shundaki, integratsiya qilish shunchaki qiyin vazifa - agar lotin faqat funktsiyaning nuqta xatti-harakati bilan bog'liq bo'lsa, integral ulug'vor yig'indisi sifatida integratsiyani talab qiladi. funktsiyani bilish. Shunday qilib, ba'zi funktsiyalar mavjud bo'lsa-da, ushbu maqolada standart usullardan foydalangan holda integrallarni baholash mumkin, ammo ko'pchilik bunday qila olmaydi. Ushbu maqolada biz bitta o'zgaruvchini integratsiyasining asosiy usullarini ko'rib chiqamiz va ularni antiderivativlar bilan funktsiyalarga qo'llaymiz.

Asoslar

Asoslar
Integratsiya tushunchasini tushuning. Ajralmas to'rt qismdan iborat.
  • ∫ - bu integratsiya belgisi. Bu aslida cho'zilgan S.
  • F (x) funktsiyasi integral deb ataladi va u integral ichida bo'lsa.
  • Dx kengligini bildiradi. o'sha to'rtburchaklar.
  • A harflari chegaralardir. Integralning chegaralari bo'lishi shart emas. Bunday holatda, biz noma'lum integral bilan ish olib boramiz, deymiz. Agar shunday bo'lsa, unda biz aniq integral bilan shug'ullanamiz.
  • Ushbu maqola davomida biz biron bir antidivivativni topish jarayonini ko'rib chiqamiz. Antiderivativ - bu biz boshlagan asl funktsiya bo'lib, uning hosilasi.
Asoslar
Integral tushunchasini tushunib oling. Integrallar haqida gapirganda, biz odatda murojaat qilamiz Rimana integrallar; boshqacha qilib aytganda, to'rtburchaklar yig'indisi. Funktsiya berilgan to'rtburchaklar kengligi va oraliq Birinchi to'rtburchakning maydoni berilgan chunki u balandlikdan (funktsiyaning qiymati) faqat bazisdir. Xuddi shunday, ikkinchi to'rtburchakning maydoni Umuman olganda, biz maydoni to'rtburchaklar Qisqartirish yozuvida bu quyidagicha ifodalanishi mumkin.
  • ∑i = 1nf (xi) Δxi
  • Agar siz birinchi marta yig'ish belgisini ko'rsangiz, u qo'rqinchli ko'rinishi mumkin ... ammo bu unchalik murakkab emas. Bularning barchasi biz n
  • Albatta, bu chegara integralning biron bir ma'noga ega bo'lishi uchun mavjud bo'lishi kerak. Agar bunday chegara oraliqda mavjud bo'lmasa, demak f (x) Ushbu maqolada (va deyarli har qanday jismoniy dasturda) biz faqatgina ushbu integrallar mavjud bo'lgan funktsiyalar bilan shug'ullanamiz.
Asoslar
Noma'lum integrallarni baholashda + C ni eslang! Odamlarning eng ko'p uchraydigan xatolaridan biri bu qo'shilish doimiyligini qo'shishni unutishdir. Buning zarurati sababi antiderivativ vositalar noyob emasligi bilan bog'liq. Aslida, funktsiya cheksiz ko'p antiderivativlarga ega bo'lishi mumkin. Bunga ruxsat beriladi, chunki doimiyning hosilasi 0 ga teng.

Quvvat qoidasi

Quvvat qoidasi
Monomial xn ni ko'rib chiqing.
Quvvat qoidasi
Integrallar uchun quvvat qoidasini bajaring. Bu lotinlar uchun bir xil kuch qoidasi, ammo teskari. Biz quvvatni 1 ga ko'paytiramiz va yangi kuchga bo'lamiz. Integratsiya doimiylarini qo'shishni unutmang
  • ∫xndx = xn + 1n + 1 + C
  • Ushbu quvvat qoidasi tutashligini tekshirish uchun dastlabki funktsiyani tiklash uchun antivirus vositasini farqlang.
  • Quvvat qoidasi n Bundan mustasno, bundan keyin nima uchun kerakligini bilib olamiz.
Quvvat qoidasi
Chiziqlilikni qo'llang. Integratsiya - bu chiziqli operator, bu yig'indining summasi integrallarning yig'indisini anglatadi va har bir termning koeffitsientini aniqlash mumkin, masalan:
  • ∫ (axn + bxm) dx = a∫xndx + b∫xmdx
  • Bu tanish bo'lishi kerak, chunki lotin ham chiziqli operatordir; summaning hosilasi - bu hosilalarning yig'indisi.
  • Lineerlik faqat ko'pxaridlarni integrallariga taalluqli emas. Bu ikki yoki undan ortiq atamalarning yig'indisi bo'lgan har qanday integral uchun amal qiladi.
Quvvat qoidasi
F (x) = x4 + 2x3−5x2−1 funktsiyasining antivirusini toping. Bu ko'paytma, shuning uchun chiziqli xususiyat va quvvat qoidasidan foydalanib, antiderivativni osonlikcha hisoblash mumkin. Doimiyning antiderivativini topish uchun shuni esda tuting shuning uchun doimiylik haqiqatan ham shunchaki koeffitsientdir
  • ∫ (x4 + 2x3−5x2−1) dx = 15x5 + 24x4−53x3 − x + C
Quvvat qoidasi
F (x) = 2x2 + 3x − 1x1 / 3 . Bu bizning qoidalarimizni buzadigan vazifaga o'xshab ko'rinishi mumkin, ammo bir lahzaga nazar tashlasak, biz fraktsiyani uchta kasrga ajratishimiz va antidivivativni topish uchun chiziqlilik va quvvat qoidasini qo'llashimiz mumkin.
  • ∫f (x) dx = ∫2x2 + 3x − 1x1 / 3dx = ∫ (2x2x1 / 3 + 3xx1 / 3−1x1 / 3) dx = ∫ (2x5 / 3 + 3x2 / 3 − x − 1/3) dx = 2⋅38x8 / 3 + 3⋅35x5 / 3−32x2 / 3 + C = 34x8 / 3 + 95x5 / 3−32x2 / 3 + C
  • Umumiy mavzu shundaki, integral ko'pxarid bo'lish uchun har qanday manipulyatsiyani bajarish kerak. U erdan integratsiya oson. Integral shafqatsiz kuchga ega bo'ladimi yoki birinchi navbatda algebraik manipulyatsiyani talab qiladimi, degan savolga javob berish mahorat yotadi.

Aniq integratsiya

Aniq integratsiya
Quyidagi integralni ko'rib chiqing. 2-qismdagi integratsiyalashuv jarayonidan farqli o'laroq, bizda ham baho berish chegaralari mavjud.
  • ∫23x2dx
Aniq integratsiya
Hisoblashning fundamental teoremasidan foydalaning. Ushbu teorema ikki qismdan iborat. Birinchi qism ushbu moddaning birinchi jumlasida aytilgan edi: integratsiya farqlashning teskari ishlashi, shuning uchun integratsiya va keyin farqlash funktsiyasi asl funktsiyani tiklaydi. Ikkinchi qism quyida keltirilgan.
  • F (x)
  • Ushbu teorema juda foydalidir, chunki u integralni soddalashtiradi va aniq integral faqat uning chegaralaridagi qiymatlar bilan to'liq belgilanishini anglatadi. Integrallarni hisoblash uchun endi to'rtburchaklar yig'ishga hojat yo'q. Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa antidivivativlarni topish va ularning chegaralarini aniqlashdir!
Aniq integratsiya
1-bosqichda keltirilgan integralni baholang. Endi biz integrallarni echish vositasi sifatida fundamental teoremaga ega bo'lganimiz sababli yuqorida aytib o'tilganidek, integral qiymatini osonlikcha hisoblashimiz mumkin.
  • ∫23x2dx = 13x3 | 23 = 13 (3) 3−13 (2) 3 = 193
  • Shunga qaramay, hisoblashning fundamental teoremasi f (x) = x2 kabi funktsiyalarga tegishli emas. Asosiy teorema har qanday funktsiyani birlashtirish uchun ishlatilishi mumkin. siz antiderivativ vositani topishingiz mumkin.
Aniq integratsiya
Integralni almashtirilgan chegaralar bilan baholang. Bu erda nima bo'lishini ko'rib chiqaylik.
  • ∫32x2dx = 13x3 | 32 = 13 (2) 3−13 (3) 3 = 3193
  • Biz hozirgina olingan javobning salbiy tomonini oldik. Bu aniq integrallarning muhim xususiyatini namoyish etadi. Chegaralarni almashtirish integralni rad etadi. ∫baf (x) dx = −∫abf (x) dx

Umumiy funktsiyalarning antiderivativlari

Umumiy funktsiyalarning antiderivativlari
Eksponensial funktsiyalarning antivirusivlarini yodlang. Keyingi bosqichlarda biz eksponent va trigonometrik funktsiyalar kabi tez-tez uchraydigan funktsiyalarni sanab o'tamiz. Barchaga keng tarqalgan, shuning uchun integral ko'nikmalarni shakllantirish uchun ularning antiviruslari nima ekanligini bilish juda muhimdir. Unutmangki, noma'lum integrallar qo'shimcha narsaga ega chunki doimiyning hosilasi 0 ga teng.
  • ∫exdx = ex + C
  • ∫axdx = axln⁡a + C
Umumiy funktsiyalarning antiderivativlari
Trigonometrik funktsiyalarning antiderivativlarini yodlang. Bular faqat orqaga qarab qo'llanilgan va tanish bo'lishi kerak. Sinuslar va kosinalar ko'proq uchraydi va kerak yodlanmoq. Giperbolik analoglar shunga o'xshash tarzda topiladi, ammo ular kam uchraydi.
  • ∫sin⁡xdx = −cos⁡x + C
  • ∫cos⁡xdx = sin⁡x + C
  • ∫sec2⁡xdx = tan⁡x + C
  • ∫csc2⁡xdx = −cot⁡x + C
  • ∫sec⁡xtan⁡xdx = sec⁡x + C
  • ∫csc⁡xcot⁡xdx = −csc⁡x + C
Umumiy funktsiyalarning antiderivativlari
Teskari trigonometrik funktsiyalarning antiderivativlarini yodlang. Bularni chindan ham "eslab qolish" mashqlari sifatida ko'rib chiqmaslik kerak. Agar siz derivativlar bilan tanish bo'lsangiz, ushbu antiderivativlarning aksariyati ham tanish bo'lishi kerak.
  • ∫11 − x2dx = sin − 1⁡x + C
  • ∫ − 11 − x2dx = cos − 1⁡x + C
  • ∫11 + x2dx = tan − 1⁡x + C
Umumiy funktsiyalarning antiderivativlari
O'zaro funktsiyani antivirusivini yodlang. Ilgari biz bu funktsiyani aytdik yoki hokimiyat qoidalariga istisno edi. Buning sababi shundaki, ushbu funktsiyaning antivardivatori logaritmik funktsiya hisoblanadi.
  • ∫1xdx = ln⁡ | x | + C
  • (Ba'zan, mualliflar dx Ushbu belgidan xabardor bo'ling.)
  • Logarifm funktsiyasida mutlaq qiymatning sababi juda nozik va to'liq javob berish uchun haqiqiy tahlilni chuqurroq tushunishni talab qiladi. Hozircha, biz mutlaq qiymat satrlari qo'shilganda domenlar bir xil bo'lib qolishi bilan yashaymiz.
Umumiy funktsiyalarning antiderivativlari
Berilgan chegaralar bo'yicha quyidagi integralni baholang. Bizning vazifamiz quyidagicha berilgan Bu erda biz antivirus vositasini bilmaymiz lekin biz trigonometrik identifikatordan antiderivativ deb bilgan funktsiya nuqtai nazaridan integratsiyani qayta yozish uchun foydalanishimiz mumkin -
  • ∫π / 4π / 3f (x) dx = ∫π / 4π / 3 (2cos⁡x + tan2⁡x − 6) dx = ∫π / 4π / 3 (2cos⁡x + sek2⁡x − 7) dx = ( 2sin⁡x + tan⁡x − 7x) | π / 4π / 3 = (2sin⁡π3 + tan⁡π3−7π3) - (2sin⁡π4 + tan⁡π4−7π4) = 23−2−1−7π12
  • Agar sizga o'nlik yaqinlik kerak bo'lsa, siz kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin. Bu erda 23−2−1−7π12≈ − 0.7827.

Simmetrik funktsiyalarning integrallari

Simmetrik funktsiyalarning integrallari
Teng funktsiyaning integralini baholang. Hatto funktsiyalar bu xususiyatga ega bo'lgan funktsiyalardir Boshqacha aytganda, siz har birini almashtirishingiz kerak bilan va bir xil funktsiyani oling. Juft funktsiyaga misol Yana bir misol - kosinus funktsiyasi. Hatto barcha funktsiyalar y o'qi bo'yicha nosimmetrikdir.
  • ∫ − 11 (cos⁡x + x4) dx
  • Bizning integrandimiz - bu hatto. Biz zudlik bilan hisoblashning asosiy teoremasi yordamida qo'shilishimiz mumkin, lekin agar diqqat bilan qarasak, chegaralar x = 0 ga nisbatan nosimmetrik ekanligiga guvoh bo'lamiz.
  • Buni qilish unchalik tuyulmasligi mumkin, ammo biz ishimiz soddalashtirilganligini darhol bilib olamiz. Antiderivativni topganimizdan so'ng, biz uni faqat x = 1 darajasida baholashimiz kerakligiga e'tibor bering.
  • Umuman olganda, har qanday nosimmetrik chegaraga ega funktsiyani ko'rsangiz, kamroq arifmetik xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun ushbu soddalashtirishni bajarishingiz kerak. A (aaf (x) dx = 2∫0af (x) dx, f (x) hatto
Simmetrik funktsiyalarning integrallari
To'q funktsiyaning integralini baholang. To'q funktsiyalar - bu xususiyatga ega bo'lgan funktsiyalar Boshqacha aytganda, siz har birini almashtirishingiz kerak bilan va keyin olish Dastlabki funksiyaning To'q funktsiyaga misol Sinus va tangens funktsiyalari ham g'alati. Barcha g'alati funktsiyalar kelib chiqishi haqida nosimmetrikdir (funktsiyaning salbiy qismini 180 ° ga burish haqida tasavvur qiling - u keyin funktsiyaning ijobiy qismi ustiga yopishadi). Agar chegaralar nosimmetrik bo'lsa, unda integral 0 bo'ladi.
  • ∫ − π / 2π / 2 (2x3 + 2sin⁡x) dx
  • Biz bu integralni to'g'ridan-to'g'ri baholashimiz mumkin ... yoki bizning integrandimiz g'alati ekanligini tushunishimiz mumkin. Bundan tashqari, chegaralar kelib chiqishi haqida nosimmetrikdir. Shuning uchun bizning integralimiz 0. Nima uchun bunday? Sababi, antidivivativ - bu hatto. Hatto funktsiyalar f (−x) = f (x),
  • Ushbu funktsiyalarning xususiyatlari integrallarni soddalashtirishda juda kuchli, ammo chegaralar nosimmetrik bo'lishi kerak. Aks holda, eski usulni baholashimiz kerak bo'ladi. A (aaf (x) dx = 0, f (x) g'alati

U-almashtirish

U-almashtirishlarni qanday bajarish haqida asosiy maqolaga qarang. U-almashtirish - bu oson integralni olish umidida o'zgaruvchilarni o'zgartiradigan usul. Ko'rib turganimizdek, bu lotinlar uchun zanjir qoidasining analogidir.
U-almashtirish
Eax ning integralini baholang. Eksponent unda koeffitsient bo'lsa, biz nima qilamiz? O'zgaruvchilarni almashtirish uchun u-o'rniga foydalanamiz. Aniqlanishicha, bunday u-subsni bajarish eng oson va ular juda ko'p amalga oshiriladi, u-sub ko'pincha o'tkazib yuboriladi. Shunga qaramay, biz butun jarayonni ko'rsatamiz.
  • ∫eaxdx
U-almashtirish
Au ni toping. Biz tanlaymiz shunday qilib, biz olish integrandagi, bizga ma'lum bo'lgan antiviral vosita - o'zi. Keyin biz almashtirishimiz kerak bilan ammo biz shartlarimizni kuzatayotganimizga ishonch hosil qilishimiz kerak. Ushbu misolda shuning uchun butun integralni quyidagiga bo'lishimiz kerak kompensatsiya qilish.
  • ∫eaxdx = 1a∫eudu
U-almashtirish
Dastlabki o'zgaruvchiga qarab baholang va yozing. Noma'lum integrallar uchun siz asl o'zgaruvchini qayta yozishingiz kerak.
  • ∫eaxdx = 1aeax + C
U-almashtirish
Berilgan chegaralar bilan quyidagi integralni baholang. Bu aniq integral, shuning uchun antiderivativni chegaralarda baholashimiz kerak. Bundan tashqari, ushbu u-sub "orqaga almashtirish" kerak bo'lgan holat ekanligini ko'ramiz.
  • 101x2x + 3dx
U-almashtirish
Au ni toping. O'zingizning chegarangizni almashtirishga ishonch hosil qiling. Biz tanlaymiz shu sababli kvadrat ildizni soddalashtiramiz. Keyin va chegaralari keyin 3 dan 5 gacha. Biroq, almashtirilgandan so'ng bilan bizda hali ham bor integrandagi.
  • ∫01x2x + 3dx = 12∫35xudu
U-almashtirish
X va almashtirish nuqtai nazaridan yeching. Bu biz ilgari aytib o'tgan zaxira almashtirish. Bizning u-sub barcha narsadan xalos bo'lmadi integrandagi atamalar, shuning uchun biz undan xalos bo'lish uchun zaxira nusxani olishimiz kerak. Biz buni topamiz Soddalashgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz.
  • 12∫35xudu = 14∫35 (u − 3) udu
U-almashtirish
Kengaytiring va baholang. Aniq integrallar bilan ishlashda afzallik shundaki, siz antidivivativni baholashdan oldin asl o'zgaruvchiga nisbatan qayta yozishingiz shart emas. Bunday qilish keraksiz asoratlarga olib keladi.
  • 14∫35 (u − 3) udu = 14∫35 (u3 / 2−3u1 / 2) du = 14 (25u5 / 2−3⋅23u3 / 2) | 35 = 14 (25 (5) 5 / 2−2 ⋅ (5) 3 / 2−25 (3) 5/2 + 2⋅ (3) 3/2) = 14 (−65⋅33 / 2 + 2⋅33 / 2) = 144533/2 = 335

Ehtiyot qismlar bilan integratsiya

Ehtiyot qismlar bilan integratsiya
Qanday qilib qismlarga birlashtirish haqida asosiy maqolaga qarang. Bo'linmalar formulalari bo'yicha integratsiya quyida keltirilgan. Parchalarni birlashtirishning asosiy maqsadi mahsulotni ikkita funktsiyani birlashtirishdir - demak, bu hosilaviy qoidalar uchun mahsulot qoidasining analogidir. Ushbu usul integralni soddalashtiradi, uni osonroq baholash mumkin.
  • ∫udv = uv − duvdu
Ehtiyot qismlar bilan integratsiya
Logarifm funktsiyasining integralini baholang. Biz uning lotin ekanligini bilamiz hisoblanadi lekin antivirus vositasi emas. Aniqlanishicha, bu integral qismlarga bo'linishni sodda qo'llashdir.
  • ∫ln⁡xdx
Ehtiyot qismlar bilan integratsiya
Au ni toping. Biz tanlaymiz chunki lotin algebraikdir va shuning uchun uni boshqarish osonroq. Keyin Shuning uchun va Bularning barchasini formulaga almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz.
  • ∫ln⁡xdx = xln⁡x − ∫dx
  • Biz logarifmaning integralini 1 ning integraliga aylantirdik, bu baholash uchun arzimasdir.
Ehtiyot qismlar bilan integratsiya
Baholang.
  • ∫ln⁡xdx = xln⁡x − x + C
Nima uchun biz integratsiyadan foydalanamiz?
Integratsiya matematik formulaning kümülatif ta'sirini tushunish uchun ishlatiladi. Fizik nuqtai nazardan, u kvadrat tenglama grafigi bilan qisman chegaralangan maydonni topmoqda.
Cos x ni qanday birlashtirish mumkin?
Cos x ni birlashtirish uchun hiyla-nayrang yo'q. Siz shuni yodda tutishingiz kerakki, cos x antivirusi sin x.
Qanday qilib x * log (sin x) ni birlashtiraman?
Elementar funktsiyalar nuqtai nazaridan yozilishi mumkin bo'lgan antivirus vositasi mavjud emas, shuning uchun biz ushbu maqoladagi texnikani ushbu funktsiyani birlashtirish uchun ishlata olmaymiz. Ammo, agar chegaralar 0 dan π gacha deb faraz qilsak, u = π - x ni to * ∫log (sin u) du ni 0 dan π / 2 ga almashtiramiz, chunki log (sin u) π / ga nisbatan nosimmetrikdir. 2. Keyinchalik, integralni Beta funktsiyasi yordamida baholash mumkin (buning uchun Gamma funktsiyasi va uning qatorlarini kengaytirish kerak - batafsil ma'lumot uchun ushbu maqolaga qarang). ∫log (sin x) dx 0 dan π / 2 = -π / 2 * log. 2. Asl integralning qiymati -π ^ 2/2 * log 2.
Rimann summasini aniqlashda uning ma'nosi chap yoki o'ng, yoki o'rtaning o'rtasini anglatishi mumkin oraliqda Ushbu turli xil ta'riflar to'rtburchaklar maydonining bir oz farqli yig'indisini beradi. Biroq, to'rtburchaklar soni cheksizlikka yuborilganda, ushbu ta'riflarning har biri orasidagi xato 0 ga tushadi va barcha yig'indilar integralga aylanadi.
  • 2-bosqichdagi diagrammada aslida quyidagilar ko'rsatilgan: ko'k to'rtburchaklar - o'ng qo'lli to'rtburchaklar, sariqlari chap qo'lli, qizil namunalar intervalda minimal, ko'k namunasi esa intervalda maksimal. O'rta chizma bu to'rtburchaklar soni cheksizlikka yuborilganda, integralga birlashganda, bu barcha maydonlar ko'rsatilgan.
benumesasports.com © 2020