Sink funktsiyasini qanday integratsiya qilish kerak

Kardinal sinus funktsiyasi, shuningdek, deb nomlanuvchi sinc funktsiyasi, vazifasi Ushbu funktsiya ko'pincha chegaralarni baholashning misoli sifatida birinchi bo'lib paydo bo'ladi va bu hammaga ma'lum Demak, nima uchun 0 da funktsiya cheklovchi qiymat sifatida belgilanadi. Biroq, bu funktsiya, birinchi navbatda, signallarni tahlil qilish va tegishli sohalarda kengroq qo'llanilishini topadi. Masalan, to'rtburchaklar pulsning Furye o'zgarishi sinc funktsiyasidir. Ushbu funktsiya integralini baholash ancha mushkul, chunki sinc funktsiyasining antivariativ elementar funktsiyalar bilan ifodalanishi mumkin emas. Bu shuni anglatadiki, biz hisoblashning asosiy teoremasini bevosita qo'llay olmaymiz. Buning o'rniga Richard Feynmanning integralni farqlash hiylalaridan foydalanamiz. Bundan tashqari, biz undan foydalanishning umumiy echimini ko'rsatamiz qoldiq nazariyasi .

Integral ostida farqlash

Integral ostida farqlash
Baholanadigan integraldan boshlang. Biz butun haqiqiy chiziq bo'yicha baholayapmiz, shuning uchun chegaralar ijobiy va salbiy cheksiz bo'ladi. Yuqorida funktsiyani vizualizatsiya ikkala ta'riflar bilan - normalizatsiya qilinmagan (qizil rangda) va normallashtirilgan (ko'k rangda). Biz baholaymiz sinc funktsiyasi.
  • ∫ − ∞∞sin⁡xxdx
  • Grafikdan sin⁡xx
  • 0 dan cheksiz chegara bilan yuqorida keltirilgan integral Dirixlet integral deb ham nomlanadi.
Integral ostida farqlash
G (t) funktsiyasini aniqlang. Bunday funktsiyani argument bilan aniqlashning maqsadi shunda biz osonlikcha oson bo'lgan integral bilan ishlay olamiz, shu bilan birga tegishli integral qiymatlar uchun kvadrat integral shartlariga javob beramiz. Boshqacha aytganda, qo'yish integral ichidagi atama amal qiladi, chunki integral hamma uchun birlashadi o'rnatayotganda asl integralni tiklaydi. Ushbu islohot biz oxir-oqibat baholaymiz degan ma'noni anglatadi
  • G (t) = ∫0∞sin⁡xxe − txdx
Integral ostida farqlash
Integral ostida farqlang. Biz derivatsiyani integratsiya belgisi ostida ko'chirishimiz mumkin, chunki integral boshqa o'zgaruvchiga nisbatan olinadi. Bu erda biz ushbu operatsiyani oqlamasak-da, u juda ko'p funktsiyalar uchun keng qo'llaniladi. Shuni yodda tuting doimiy emas, balki baholash davomida o'zgaruvchan sifatida ko'rib chiqilishi kerak.
  • dGdt = ddt∫0∞sin⁡xxe − txdx = ∫0∞∂∂te − txsin⁡xxdx = −∫0∞e − txsin⁡xdx
Integral ostida farqlash
DGdt baholang. Bu, aslida, bu uchun baholash Laplas transformatsiyasi ning Ushbu integralni baholashning eng asosiy usuli bu quyida ishlaydigan qismlarga bo'linish orqali foydalanish. Buni integratsiyalashning yanada kuchli usuli bo'yicha maslahatlarga qarang. Belgilarga e'tibor bering.
  • dGdt = e − txcos⁡x | 0∞ + ∫0∞te − txcos⁡xdx = e − txcos⁡x | 0∞ + [te txsin⁡x | 0∞ + ∫0∞t2e − txsin⁡xdx] = e −txcos⁡x | 0∞ + te − txsin⁡x | 0∞ − t2dGdt
  • dGdt (1 + t2) = (0−1) + (0−0)
  • dGdt = −11 + t2
Integral ostida farqlash
T ga nisbatan ikkala tomonni ham birlashtiring. Bu tiklanadi boshqa o'zgaruvchi ostida. Integrand taniqli funktsiyaning differentsiatsiyasi bo'lgani uchun, bu baholash ahamiyatsizdir.
  • −∫11 + t2dt = −tan ⁡ 1⁡t + C
  • Bu erda biz G (t) = 0 ham.
  • Shuning uchun G (t) = - tan − 1⁡t + π2.
Integral ostida farqlash
Sig integralini baholang. Endi bizda qayerda 0 ni almashtira olamiz va toping
  • G (0) = ∫0∞sin⁡xxdx = π2
  • Va nihoyat, biz barcha realliklarni birlashtirish uchun shunchaki 2 ga ko'paytirganimizni eslaymiz, chunki sinc⁡x
  • Ushbu javobni eslab qolishga arziydi, chunki u bir nechta kontekstda paydo bo'lishi mumkin.

Qoldiq nazariyasi

Qoldiq nazariyasi
Quyidagi integralni ko'rib chiqing. Eslatib o'tamiz bu shunchaki eksponensial funktsiyaning xayoliy qismidir Bu yaxlitlik uzluksiz bo'lib, atigi yakkalikdan tashqari
  • ∫ − ∞∞eixxdx
Qoldiq nazariyasi
Ichki kontur bilan kontur integralini ko'rib chiqing. Qoldiq nazariyasidan foydalanib baholangan eng oson noto'g'ri integrallar haqiqiy chiziqni ba'zi bir chegaradan izlaydigan yarim doira kamonidan foydalanadi. ga va yoylar soat miliga teskari tomonga vaqt Biroq, biz dastlab qutb tufayli uni ishlata olmaymiz. Yechim qutb atrofida aylanadigan konturni ishlatishdir.
  • ∫Γeizzdz
  • Γ Shuni ta'kidlash kerakki, bu integral kontur ichida biron bir o'ziga xos xususiyatga ega emas va shuning uchun 0 ga teng. Shuning uchun biz quyidagilarni yozishimiz mumkin.
  • ∫ − a − ϵeixxdx + ∫ϵaeixxdx = −∫γϵeizzdz ∫γaeizzdz
Qoldiq nazariyasi
Jordana yaxlitligini baholash uchun Iordaniya lemmasidan foydalaning. Odatda, bu integral yo'qolishi uchun, denominator darajasi hisoblagich darajasidan kamida ikki katta bo'lishi kerak. Iordaniya lemmasi aytadiki, agar bunday ratsional funktsiya a ga ko'paytirilsa muddatli bo'lsa, unda mahfiylik darajasi kamida bittadan katta bo'lishi kerak. Shuning uchun bu integral yo'qoladi.
  • Eaeizzdz = 0
Qoldiq nazariyasi
Γϵ integralini baholang.
  • Agar siz 1z
  • Ushbu natijani istalgan burchak yoyi bo'yicha umumlashtirishimiz mumkin, ammo bundan ham muhimi, qoldiqlar uchun. Ushbu qadam foydalanadigan teorema bo'yicha maslahatlarga qarang. Dastlabki qoldiq osonlik bilan Res⁡ (0) = 1 bo'ladi.
Qoldiq nazariyasi
Integralimizga javob bering. Chunki va bizning javobimizga kelish uchun natijamizni rad eting (2-bosqichga qarang).
  • ∫ − ∞∞eixxdx = ∫ a− a −eixxdx + ∫ϵaeixxdx =
Qoldiq nazariyasi
Yuqoridagi integralning xayoliy qismini ko'rib chiqing. Yuqoridagi natija haqiqatan ham bizga ikkita haqiqiy natijani beradi. Birinchidan, sinc funktsiyasining integral darhol paydo bo'ladi.
  • Im⁡∫ − ∞∞eixxdx = ∫ ∞∞sin⁡xxdx = π
  • Ikkinchidan, bog'liq bo'lgan cos⁡xx funktsiyasining yaxlitligi, agar 0 ga teng bo'lgan natijamizning haqiqiy qismini olsak, u holda ham shunday bo'ladi. kutilgan bo'lishi kerak, chunki bu funktsiya g'alati.
Ba'zi konventsiyalar belgilaydi uchun bolmoq o'rniga. Ushbu ta'rif juda oddiy normallashtirishga ega Ushbu javobni normalizatsiya qilingan funksiya yordamida yuqoridagi amallarni bajarish orqali tasdiqlang.
1-usulning 4-bosqichida biz qismlarga bo'linish orqali integratsiya qildik. Biroq, bu jarayon biroz sekin bo'lishi mumkin. Yana bir usul - kompleks sonlarni integralni "murakkablashtirish" orqali ishlatish.
  • Eylerning aylanishiga eksponentlar bilan bog'liq bo'lgan Eyler formulasini eslang.
  • Endi bizda ikkita funktsiyaning samarasi o'rniga eksponensial integral mavjud. Endi biz shunchaki integralni bajaramiz va xayoliy qismni tanlaymiz. −Im⁡∫0∞e (i − t) xdx = −Im⁡e (i − t) xi − t | 0∞ = −Im⁡ (1t − i) = - 1t2 + 1
  • Bu ko'proq mos keladigan va kuchli integratsiya usuli. Ushbu usulning afzalligi shundaki, biz haqiqiy qismini bepul olamiz.
2-usulning 4-bosqichida oddiy qutblar atrofidagi kontur integralini yoyning burchagi va qutb qoldig'i bilan bog'laydigan teoremadan foydalanamiz. Xususan, teorema buni quyidagicha ta'kidlaydi: agar oddiy qutbga ega va tomonidan belgilangan aylana yoyi unda quyidagi yaxlit yaxlitlik bo'ladi.
  • limϵ → 0 + ∫γϵf (z) dz = i (t2 − t1) Res⁡ (f (z); z0)
  • Bizning misolimizda bizning konturimiz soat yo'nalishi bo'yicha va π, kabi bo'ladi. ishlatilgan.
benumesasports.com © 2020