Gauss funktsiyalarini qanday birlashtirish kerak

Gauss funktsiyasi matematika va fanlarning eng muhim funktsiyalaridan biridir. Uning xarakterli qo'ng'iroq shaklidagi grafigi statistikada normal taqsimotdan kvant mexanikasida zarralarning to'lqin paketlarini joylashishiga qadar hamma joyda uchraydi. Ushbu funktsiyani barchasiga birlashtirish juda keng tarqalgan ish, ammo u elementar hisoblash usullariga qarshi turadi. O'zgaruvchilarni miqdori, qismlarga integratsiyasi, trigonometrik almashtirish va boshqalar miqdori integralni soddalashtiradi. Aslida, Gaussning antivirus vositasi, xato funktsiyasi elementar funktsiyalar nuqtai nazaridan yozilishi mumkin emas. Shunga qaramay, biz ushbu maqolada topadigan aniq integral uchun aniq echim mavjud. Yana qiziqarli natijalarga erishish uchun Gauss integralini umumlashtiramiz. Ushbu umumlashtirish uchun ba'zi bir qancha texnikalar kerak bo'ladi, masalan integral ostida farqlash va bilim Gamma funktsiyasi.

Gauss integral

Gauss integral
Integral bilan boshlang.
  • ∫ − ∞∞e − x2dx
Gauss integral
Integralning kvadratini ko'rib chiqing. Biz ushbu integralni kengaytirmoqdamiz tekislik. Bu erda g'oya bu muammoni biz osonlikcha hal qiladigan er-xotin integralga aylantirish va keyin kvadrat ildizni olishdir.
  • ∫ − ∞∞dxe − x2∫ − ∞∞dye − y2
Gauss integral
Qutb koordinatalariga aylantiring. Eslatib o'tamiz, qutbli to'rtburchakning maydoni integral shaklga ega qo'shimcha bilan burchakni uzunlik birligiga o'lchash uchun Bu qo'shimcha integrallarni arzimas qiladi, chunki biz aniqlay olamiz
  • ∫ ∞∞ ∞∞dxe − x2∫ −dye − y2 = ∫ ∞∞dx∫ −dye− (x2 + y2) = ∫0∞rdr∫02πdθe 2 r2
Gauss integral
U-almashtirish yordamida baholang. Ruxsat bering Keyin differentsial qo'shimcha bekor qiladi qutbga o'zgarganimizdan so'ng Integrandda yo'q bo'lgani uchun qaramlik, biz baholash mumkin darhol integral.
  • ∫0∞rdr∫02πdθe − r2 = 2π∫0∞re − r2dr, u = r2 = π∫0∞e − udu = π (−e − ∞ + e0) = π
Gauss integral
Gaussning ajralmas qismiga keling. Biz integralning kvadratini baholaganimiz uchun, natijamizning kvadrat ildizini olamiz.
  • ∫ − ∞∞e − x2dx = π
  • Muhimi, Gauss funktsiyasi bir xil. ∫ − ∞∞e − x2dx = 2∫0∞e − x2dx = 2⋅π2
Gauss integral
Umumiy Gauss funktsiyasining integralini ko'rib chiqing. Ushbu funktsiya parametrlar bilan belgilanadi va qayerda qo'ng'iroq egri chizig'ining balandligini belgilaydigan (normalizatsiya) doimiydir va bu egri kengligini aniqlaydigan standart og'ishdir.
  • f (x) = ae − x22σ2
  • Ushbu integralni tekshirish uchun yuqorida ko'rsatilgan amallarni bajaring. ∫ − ∞∞ae − x22σ2dx = aσ2π
  • Muammoni shakllantirishning yana bir usuli, agar bizda g s ax2 shaklida gauss tilimiz bo'lsa.
Gauss integral
(Ixtiyoriy) A normalizatsiya doimiyini topish uchun maydonni normallashtiring. Ko'pgina dasturlarda Gaussning hududi birlashtirilishi kerak. Bunday holda biz o'rnatdik va uchun hal
  • a = 1σ2π
  • Bu erda biz ehtimoliy nazariya va kvant mexanikasi kabi dasturlarda talab qilinadigan normallashtirilgan Gaussga etib keldik. f (x) = 1σ2πe − x22σ2

Umumiy ma'lumotlar

Umumiy ma'lumotlar
Quyidagi integralni ko'rib chiqing. Gauss integral ko'p sonli bog'liq integrallarni topish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan natijadir. Quyidagilar chaqiriladi Gaussning Quyida musbat son.
  • ∫0∞xne − x2dx
Umumiy ma'lumotlar
Agar n teng bo'lsa, tegishli integralni ko'rib chiqing (quyida yozilgan) va integral ostida farqlang. Integral ostida farqlashning natijasi shuki, hatto kuchlar tushirish. E'tibor bering, integral rad etilganda, o'ngdagi natija salbiy quvvat tufayli ham natija olinmaydi shuning uchun javoblar ijobiy bo'lib qoladi. Differentsiatsiya integratsiyaga qaraganda osonroq bo'lgani uchun, biz buni kun bo'yi amalga oshirishimiz mumkin edi, bunga ishonch hosil qiling qulay vaqtda. Quyida ushbu integrallarning ba'zilarini sanab o'tamiz. Ularni o'zingiz tekshirishingizga ishonch hosil qiling.
  • ∫0∞e − ax2dx = 12π
  • ∞0∞x2e − x2dx = −∫0∞∂∂α − ax2dx = −ddα (12πα) = π4
  • ∫0∞x4e − x2dx = 3π8
  • ∫0∞x6e − x2dx = 15π16
Umumiy ma'lumotlar
Agar n dan foydalaning. Keyin biz foydalanishimiz mumkin Gamma funktsiyasi osonlikcha baholash. Quyida biz tanlaymiz va misollar sifatida.
  • ∫0∞x9e − x2dx = 12∫0∞u4e − udu = 4! 2 = 12
  • ∫0∞x1 / 3e − x2dx = 12∫0∞u − 1 / 3e − udu = Γ (2/3) 2
  • Shunisi qiziqki, biz Gamma funktsiyasidan n uchun ham foydalanishimiz mumkin. Odatda ushbu integralni farqlashga qaraganda ko'proq jalb qilingan ushbu turdagi integrallarni baholashning umumiy usuli hisoblanadi.
Umumiy ma'lumotlar
Uchta integralni olish uchun a = i ni o'rnating. Natija shunday umumiy hattoki murakkab qiymatlarni ham olishi mumkin Murakkab eksponensial funktsiyani trigonometrik funktsiyalar bilan bog'liq bo'lgan Eyler formulasini eslang. Agar natijamizning haqiqiy va xayoliy qismlarini olsak, ikkita bepul integralni olamiz. Ikkala haqiqiy integralning ikkalasida ham antiderivativ vositalar mavjud emas, ular yopiq shaklda yozilishi mumkin.
  • e − ix2 = cos⁡x2 − isin⁡x2
  • ∫0∞e − ix2dx = 12πi = π2e − iπ / 4 = π22 (1 − i)
  • ∫0∞cos⁡x2dx = ∫0∞sin⁡x2dx = π22
  • Ushbu ikkita integral Fresnel integrallarining maxsus holatlari bo'lib, ular optikani o'rganishda muhim ahamiyatga ega.
  • Agar siz murakkab sonlarni yaxshi bilmasangiz, i Polar shakl murakkab sonlar bilan bog'liq deyarli hamma narsani soddalashtiradi, shuning uchun biz kvadrat ildizni osongina olishimiz mumkin.
Umumiy ma'lumotlar
Kvadratni to'ldirib, Gauss funktsiyasining Fyuri o'zgarishini hisoblang. Fyurie transformatsiyasini hisoblash hisoblash uchun juda oddiy, ammo biroz o'zgartirishni talab qiladi. Biz kvadratni to'ldirishni tanlaymiz, chunki biz integralning xususiyatini tan olamiz smenada (munozaraga qarang). Integrandni o'zgartirmaslik uchun 0 ni qo'shishimiz kerakligi sababli, a qo'shib to'ldirishimiz kerak muddatli. Belgilarni tomosha qiling - ular aldamchi bo'lishi mumkin.
  • F
  • Qizig'i shundaki, Gaussning Fyurening o'zgarishi boshqa funktsional xususiyatga ega bo'lgan boshqa xususiyatdir (ko'lamli) Gaussian (funktsiyasi qo'ng'iroq egri shaklida shakllantirilgan giperbolik sekant, shuningdek, o'zining Fyuri o'zgarishi).
  • Kvadratni to'ldirishning ushbu uslubi quyidagi kabi integrallarni topish uchun ham ishlatilishi mumkin. Buni eiαx / β

Xato funktsiyasi

Xato funktsiyasi
Xatolik funktsiyasini aniqlang. Ko'pincha Gauss integralini haqiqiy chiziq bo'yicha baholash kerak. Shu bilan birga, tarqalish va statistika kabi ko'plab boshqa dasturlar yanada umumiy munosabatlarni talab qiladi.
  • Gauss funktsiyasida elementar funktsiyalar nuqtai nazaridan yozilishi mumkin bo'lgan antivirus vositasi mavjud emasligi sababli, biz xato funktsiyasini erf⁡ (x)
  • Qo'shimcha xato funktsiyasini aniqlash ham qulaydir. erfc⁡ (x) = 1 − erf⁡ (x)
  • Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu maxsus funktsiyani aniqlash to'g'risidagi akt matematikaga yangi tushunchalar yoki fundamental tushunchalar bermaydi. Bu shunchaki duch keladigan funktsiyaning ta'rifi, bu o'z nomini berish uchun etarli.
Xato funktsiyasi
Dastlabki shartlarni hisobga olgan holda bitta o'lchovli issiqlik tenglamasini yeching. Xato funktsiyasidan foydalanishni talab qiladigan dasturning misoli sifatida biz to'rtburchaklar funktsiyasi bo'lgan dastlabki shartlar bilan Furier transformatsiyalaridan foydalanib issiqlik tenglamasini echamiz. Quyida diffuziya koeffitsienti sifatida tanilgan.
  • ∂u∂t − a∂2u∂x2 = 0
  • u (x, 0) = u0 (x) =
Xato funktsiyasi
Asosiy echimni toping. Asosiy echim Dirak delta funktsiyasi nuqta manbai boshlang'ich shartlari berilgan issiqlik tenglamasini yechishdir. Ushbu kontekstdagi fundamental echim, shuningdek, deb nomlanadi issiqlik yadrosi.
  • T.
  • Qo'shimcha doimiylik oddiy sharoitlarga mos keladi. u ^ (ξ, t) = u ^ 0 (ξ) e − aξ2t
  • Endi biz yana haqiqiy makonga aylanishimiz kerak. Bu biz uchun qulaydir, chunki ξ
  • Gauss funktsiyasining Furye o'zgarishini qanday hisoblash mumkinligini biz allaqachon ko'rdik. Kvadratni to'ldirish texnikasini bu erda ham qo'llaymiz.
  • U (x, t) = F − 1
Xato funktsiyasi
Berilgan boshlang'ich shartlar u (x, t) uchun hal qiling. Endi bizning asosiy echimimiz bor biz yig'ilishni olamiz bilan
  • u (x, t) = u0 (x) ∗ U (x, t) = ∫ − ∞∞u0 (y) U (x − y, t) dy = 14πt ∫ 1/21 / 2e− (x − y) ) 2 / 4αd = 14πt∫ − 1/2 − x1 / 2 − xe− (z4αt) 2dz = 12 [erf⁡ (1/2 − x4αt) ⁡erf⁡ (−1 / 2 − x4αt)]
  • Oxirgi bosqichda biz ∫e − x2dx = π2erf⁡ (x).
  • Yuqoridagi vaqt davomida ushbu funktsiyaning syujeti shuni ko'rsatadiki, vaqt o'tishi bilan funktsiyaning "ravshanligi" pasayadi va natijada muvozanat echimiga intiladi. Dastlabki shartlar ko'k rangda chizilgan, u (x, t) .
  • Grafikdan biz funktsiyaning xato funktsiyasi e'tiborga olinadigan x = ± 1/2, .
benumesasports.com © 2020