Chiziqli algebradan foydalanib, eng past ‐ kvadratik echimlarni qanday topish mumkin

Ma'lumotni tahlil qilishda ko'pincha tendentsiya chiziqlari deb nomlangan kuzatilgan ma'lumotlar uchun korrelyatsiyalarni topish maqsadi bo'ladi. Ammo real hayotdagi kuzatuvlar deyarli har doim matritsa tenglamasiga nomuvofiq echimlarni keltirib chiqaradi qayerda kuzatish vektori deb ataladi, deyiladi dizayn matritsasi, va biz qiymatlarni qidiramiz parametr vektori. Intuitiv ravishda buni ko'rish juda oson - hech qanday trend liniyasi, juda alohida holatlardan tashqari, ma'lumotlardagi barcha nuqtalarni kesishmaydi. Ko'pgina ilovalar uchun bunga echim a yuqorida aytilgan tenglamani eng yaxshi yaqinlashtiradi. Buni tengsizlik nuqtai nazaridan yozish mumkin Bu erda biz masofani minimallashtiramiz va Chunki miqdori kvadratlar yig'indisi, topish muammosi eng kam kvadratchalar deb nomlanadi. Derivatsiyani tushunish uchun chiziqli algebrada ma'lum bir ma'lumotga ega bo'lish tavsiya etiladi.

Umumiy eng past kvadratlar eritmasini olish

Umumiy eng past kvadratlar eritmasini olish
Proektsiyaning ta'rifini eslang. Ustun bo'shlig'ida joylashgan vektor bo'shligini ko'rib chiqing va kuzatiladigan Chunki umuman emas biz eng yaxshi taxminni topishni xohlaymiz ga qaysi ichida proektsiyasi deb ataladi Boshqacha aytganda, biz topishni xohlaymiz vektor bo'shlig'i orasidagi masofani minimallashtiradi va
  • y ^ = ProjCol⁡X⁡y
  • Agar biz X = (x1x2 ... xp) ga yo'l qo'ysak,
  • Shubhasiz, bu biz baholamoqchi bo'lmagan narsa emas.
Umumiy eng past kvadratlar eritmasini olish
Matritsali tenglamani proektsiyalar bilan qayta yozing. Endi bizda mavjud bo'lgan vektor mavjud biz topishni boshlashimiz mumkin Bu erda matritsa tenglamasi uchun izchil echim topiladi
  • Xβ ^ = y ^
Umumiy eng past kvadratlar eritmasini olish
X bilan bog'lang. Biz gaplashishimiz mumkin va uning proektsiyasi orqali qayerda ning tarkibiy qismi hisoblanadi ortogonal to
  • y − y ^ = Col⁡ (X) ⊥
  • Chiziqli algebradagi teorema, agar β
  • X,
Umumiy eng past kvadratlar eritmasini olish
Y ^ o'rnini bosing va soddalashtiring. Biz izlamayotganimiz sababli lekin biz buni bir hil tenglamaga almashtiramiz.
  • XT (y − Xβ ^) = 0XTy − XTXβ ^ = 0
Umumiy eng past kvadratlar eritmasini olish
uchun hal qiling. Endi biz bildirdik biz xohlagan miqdorlarda ushbu tenglamani baholashimiz mumkin.
  • β ^ = (XTX) −1XTy
  • Ushbu tenglamaning haqiqiy bo'lishi uchun ehtiyot bo'ling, XTX o'zgartirilmasligi kerak. Agar ushbu ifodada erkin o'zgaruvchilar bo'lsa, unda cheksiz ko'p sonli haqiqiy trend chiziqlari bo'ladi.

Berilgan ma'lumotlarga misol

Berilgan ma'lumotlarga misol
Quyidagi ma'lumotlarga e'tibor bering. Biz eng kichik kvadratik chiziqli trend chizig'iga mos kelmoqchimiz ularga.
  • (0,3), (1,4), (2,5), (3,7)
  • Biz chiziqli trend chizig'ini moslashtirganimiz uchun, ma'lumotlar nuqtalarini tenglamalar tizimini yozish uchun ishlatamiz. 3 = β14 = β0 + β15 = 2β0 + β17 = 3β0 + β1
Berilgan ma'lumotlarga misol
Kuzatuv vektorini va dizayn matritsasini o'rnating. Kuzatish vektori shunchaki kuzatuvlar yoki y-qiymatlardan tashkil topgan ustun vektoridir. Dizayn matritsasidagi elementlar har bir nuqtaga tegishli bo'lganligi sababli trend chizig'ining tenglamasi koeffitsientlariga tayanadi. Bizning holatlarimizda birinchi ustun koeffitsientlardan iborat ikkinchi ustun esa koeffitsientlardan iborat
  • X = (01112131), y = (3457)
Berilgan ma'lumotlarga misol
Dizayn matritsasi va kuzatish vektoriga eng kichik kvadratlar eritmasini bog'lang.
  • β ^ = (XTX) −1XTy
Berilgan ma'lumotlarga misol
Mumkin bo'lgan har qanday vositadan foydalanib, o'ng tomonni baholang.
  • XTX = (14664) (XTX) −1 = 110 (2−3−37) XTy = (3519) (XTX) −1XTy = 110 (1328)
Berilgan ma'lumotlarga misol
Trening chizig'ini standart shaklda yozing. Bu kuzatilgan ma'lumotlar nuqtalari uchun eng mos keladigan chiziq. Bizning sezgi bu to'g'ri javob ekanligini tekshiradi, chunki biz tashqi qiyalik tufayli qiyalik 1 dan bir oz katta bo'lishi va y kesishish 3 dan biroz kamroq bo'lishi kutilgan edi
  • y = 1310x + 2810
Biz ko'rsatgan misolning 2-qismida kuzatuvlar to'plamiga to'g'ri chiziqni o'rnatish haqida gap bordi. Biroq, eng kam kvadratchalar bundan kuchliroq. Ma'lumotlar to'plamini hisobga olgan holda, biz ma'lum funktsiyalarning chiziqli kombinatsiyalari bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan eng kichik kvadratik tendentsiyalarga mos kelishimiz mumkin. Masalan, agar kerak bo'lsa, ma'lumotlarga kvadratik, kubik va hatto eksponensial egri chiziqlarni o'rnatishingiz mumkin.
benumesasports.com © 2020