Ko'p funktsiyali funktsiyalarning ekstremasini qanday topish mumkin

Bitta o'zgaruvchan hisoblashda funktsiyaning ekstremasini topish juda oson. Siz tanqidiy nuqtalarni topish uchun lotin qiymatini 0 ga qo'ydingiz va ikkinchi darajali testdan foydalanib, bu ballar maksimalima yoki minima ekanligiga baho berasiz. Yopiq domenlar bilan ishlayotganda, biz ham mumkin bo'lgan global maxima va minima chegaralarini tekshirishimiz kerak. Ko'p o'zgaruvchan hisoblashda bir nechta o'zgaruvchilar bilan ish olib borganimiz sababli, bu fikrni umumlashtirish usulini aniqlashimiz kerak.
Quyidagi funktsiyani ko'rib chiqing. ikki o'zgaruvchining ikki marta farqlanadigan funktsiyasi va Ushbu maqolada biz maksimal va minimal qiymatlarni topishni xohlaymiz domenda Bu to'rtburchaklar domen bo'lib, unda chegaralar domen bilan qamrab olinadi.
  • f (x, y) = x3 + x2y − 2y3 + 6y
F gradiyentini hisoblang va har bir komponentni 0 ga qo'ying. Eslatib o'tamiz, ikki o'lchovda, gradyan
  • ∂f∂x = 3x2 + 2xy = 0
  • ∂f∂y = x2−6y2 + 6 = 0
Tanqidiy fikrlarni olish uchun x ni eching. Odatda, buni amalga oshirish uchun biz gradientning ikkala komponenti bilan ishlashimiz kerak bo'ladi.
  • X qiymatlarini topish uchun birinchi tarkibiy qismdan boshlaylik.
  • Keyinchalik, x ning ikki qiymati uchun y
  • Y. (belgilarga e'tibor bering).
  • Shuning uchun to'rtta muhim nuqta (0, ± 1), (∓235, ± 335). Biroq ular faqat ekstremaga da'vogarlar.
Kritik nuqtalarning xususiyatlarini aniqlash uchun Gessian matritsasidan foydalaning. Ushbu matritsa ikkinchi hosilalarning kvadrat matritsasi. Ikki o'lchovda, matritsa quyidagicha.
  • H = (∂2f∂x2∂2f∂x∂y∂2f∂y∂x∂2f∂y2)
F ga almashtiring. E'tibor bering, Clairaut teoremasi aralash qismlarning almashinishini kafolatlaydi (doimiy funktsiyalar uchun), shuning uchun ikkita o'lchovda Gessianning diagonal elementlari bir xil bo'ladi. Bu haqiqat bo'lishi kerakligining yana bir sababi uchun maslahatlarga qarang.
  • ∂2f∂x2 = 6x + 2y
  • ∂2f∂x∂y = ∂2f∂y∂x = 2x
  • ∂2f∂y2 = −12y
  • H = (6x + 2y2x2x − 12y)
H aniqlovchisini tekshiring. Agar (ijobiy aniq), keyin nuqta maksimal yoki minimal bo'ladi. Intuitiv nuqtai nazardan, ikkala komponentning ikkinchi qismli lotinlari bir xil belgiga ega. Boshqa tomondan, agar (salbiy aniq), keyin nuqta - egar. Komponentlarning ikkinchi qismli hosilalari qarama-qarshi belgilarga ega, shuning uchun nuqta ekstremal emas. Nihoyat, agar (noaniq), keyin ikkinchi lotin testi natijasizdir va nuqta uchta har qanday bo'lishi mumkin. Nima uchun bunday bo'lganligi bo'yicha maslahatlarga qarang.
  • (0, ± 1)
  • Endi (∓235, ± 335)
  • Ushbu ikkala fikr ijobiy gessiyaliklarga ega.
H izini tekshiring. Nomzod ekstremasi uchun biz hali ham ballar maksimal yoki minima ekanligini aniqlashimiz kerak. Bunday holda biz izni tekshiramiz - diagonal elementlarning yig'indisi . Agar keyin nuqta mahalliy minimal. Agar keyin nuqta mahalliy maksimal bo'ladi.
  • Yuqoridan biz tr⁡H (5235,335) <0, - bu maksimal mahalliy qiymat.
  • Xuddi shunday, tr⁡H (235, −335)> 0, - bu eng kam mahalliy miqdor.
Agar siz yopiq domendagi ekstremani topsangiz, chegaralarni tekshiring. Ochiq domenlar uchun ushbu qadam kerak emas. Ammo, bizning domenimiz yopiq bo'lganligi sababli, chegaralarda ekstremal holat yuzaga kelishi mumkin. Bu bir o'zgaruvchan ekstremal testga aylansa-da, bu eng oddiy domen uchun ham qiyin bo'lgan jarayon - to'rtburchaklar domen - va yanada murakkab domenlar uchun bu ancha murakkablashishi mumkin. Sababi, to'rtburchakning har bir tomoniga mos keladigan to'rtta sanab chiqing, barchasini 0 ga qo'ying va o'zgaruvchilarni echishimiz kerak.
  • Avval (1, y) ga mos keladigan to'rtburchakning o'ng tomonini tekshiramiz. - bu eng kam mahalliy qiymat.
  • Qolgan uch tomon ham xuddi shu tarzda amalga oshiriladi. Shunday qilib, biz quyidagi muhim fikrlarni aniqlaymiz. Domenning tashqarisida joylashgan barcha fikrlarni tashlashingiz kerakligidan ehtiyot bo'ling. (0,2), mahalliy maksimal qiymat
Agar siz yopiq domenda global ekstremani topsangiz, burchaklarni tekshiring. To'rtburchaklar chegarasining to'rtta burchagini ham hisobga olish kerak, xuddi bitta o'zgaruvchan hisoblashda domenning ikkita oxirgi nuqtasini qanday ko'rib chiqish kerak. Domen ichidagi va uning chegarasida joylashgan har bir ekstremal, to'rtta burchak qo'shilishi bilan global ekstremani aniqlash uchun funktsiyaga ulanishi kerak. Quyida biz global maksimal va minimal joylarning ro'yxatini keltiramiz. Ular qadriyatlarga ega navbati bilan E'tibor bergan bo'lsangiz, ushbu global ekstremal holatlarning ikkalasi ham domen ichida emas, balki yopiq va ochiq domenlarni aniqlash muhimligini ko'rsatadigan chegaralarda joylashgan.
  • Global maksimal: (1,76)
  • Global minimal: (−1, −76)
  • Yuqorida biz bilan ishlagan funktsiyani ingl. Biz egar nuqtalari va qizil rang bilan belgilangan global ekstremal joylarni, shuningdek domen ichidagi va chegaralardagi aniq nuqtalarni aniq ko'rishimiz mumkin.
Javoblaringizni tekshirish uchun Mathematica kabi kompyuter algebra tizimidan foydalanish yaxshi fikr, chunki bu muammolar, ayniqsa uch yoki undan ko'p o'lchovlarda, biroz zerikib ketishi mumkin.
benumesasports.com © 2020