Eigenvallar va Eigenvektorlarni qanday topish mumkin

Matritsa tenglamasi boshqa vektor hosil qilish uchun vektorga ta'sir qiladigan matritsani o'z ichiga oladi. Umuman olganda, yo'l ustida ishlaydi murakkab, ammo ba'zi bir holatlar mavjudki, harakat bir xil vektorga yo'naltiriladi va skalyar omilga ko'paytiriladi. Eigenvalu va eigenvektorlar boshqa sohalar qatori fizika fanlarida, ayniqsa kvant mexanikasida juda katta qo'llanmalarga ega.
Determinantlarni tushunish. Matritsani aniqlovchi qachon qaytarib bo'lmaydigan. Bu sodir bo'lganda, bo'sh joy trivial bo'lmagan bo'ladi - boshqacha aytganda, bir hil tenglamani qondiradigan nol bo'lmagan vektorlar mavjud [1]
Eigenvalue tenglamasini yozing. Kirish qismida aytilganidek, harakat yoqilgan oddiy va natijasi faqat multiplikativ sobit bilan farq qiladi eigenvalue deb nomlangan. Ushbu eigenval bilan bog'liq bo'lgan vektorlar eygenvektorlar deyiladi. [2]
  • Ax = λx
  • Tenglamani nolga keltirib, bir hil tenglamani olamiz. Quyida, men bu identifikatsiya matritsasi.
  • (A − λI) x = 0
Xarakteristik tenglamani o'rnating. Buning uchun trivial bo'lmagan echimlarga ega bo'lish, bo'sh joy ham trivial bo'lmagan bo'lishi kerak.
  • Buning yagona yo'li, agar det (A − λI) = 0. Bu xarakterli tenglama.
Xarakterli ko'payuvchini oling. daraja ko'payishini beradi uchun matritsalar.
  • A = (1432) matritsasini ko'rib chiqing.
  • | 1 − λ432 − λ | = 0 (1 − λ) (2 ta λ) −12 = 0
  • E'tibor bergan bo'lsangiz, ko'payish orqaga qarab ko'rinadi - Qavslar ichidagi miqdor boshqacha emas, o'zgaruvchan minus son bo'lishi kerak. Tartibni o'zgartirish uchun 12-ni o'ng tomonga siljitish va (−1) 2 ga ko'paytirish bilan bu oson.
  • (λ − 1) (λ − 2) = 12λ2−3λ − 10 = 0
Eigenvallar uchun xarakterli ko'payuvchini yeching. Bu, umuman olganda, eigenval qiymatlarini topish uchun qiyin qadamdir, chunki kvintik funktsiyalar yoki yuqori polinomiyalar uchun umumiy echim yo'q. Biroq, biz 2-o'lchov matritsasi bilan shug'ullanmoqdamiz, shuning uchun kvadrat osonlikcha hal qilinadi.
  • (λ − 5) (λ + 2) = 0λ = 5, −2
Eigenval qiymatlarini eigenvalue tenglamasiga birma-bir almashtiring. Keling, o'rnini bosamiz birinchi [3]
  • (A − 5I) x = (- 443−3)
  • Olingan matritsa aniq chiziqli bog'liqdir. Biz bu erda to'g'ri yo'ldamiz.
Satrlarni qisqartirish hosil bo'lgan matritsa. Katta matritsalar bilan, matritsaning chiziqli bog'liqligi shunchalik ravshan bo'lmasligi mumkin va shuning uchun biz qatorlarni qisqartirishimiz kerak. Shu bilan birga, biz darhol satr operatsiyasini bajarishimiz mumkin 0 ning qatorini olish. [4]
  • (4444)
  • Yuqoridagi matritsa −4x1 + 4x2 = 0. ni soddalashtiring va takrorlang. erkin o'zgaruvchi.
Eigenspace uchun asos oling. Oldingi qadam bizni bo'sh joyning asosiga olib keldi - boshqacha aytganda, eigenspace eigenvalue 5 bilan.
  • x1 = (11)
  • To2 = −2 bilan 6 dan 8 gacha bo'lgan qadamlarni bajarish, eigenval -2 bilan bog'liq bo'lgan quyidagi eigenvektorga olib keladi.
  • x2 = (- 43)
  • Bular o'zlarining eigenvallari bilan bog'liq bo'lgan eigenvektorlardir. A, butun eigenspansiya uchun biz yozamiz
Nega y-ni 1 bilan almashtiramiz va eigenvektorlarni topishda boshqa raqamlar bilan emas?
Oddiylik uchun. Eigenvektorlar faqat multiplikativ sobitgacha aniqlanadi, shuning uchun doimiyni 1 ga tenglashtirishni tanlash ko'pincha eng oddiy hisoblanadi.
3x3 matritsaning eigenvektorlarini qanday topasiz?
Birinchidan, x uchun det (A - xI) = 0 echimini toping, bu erda men identifikatsiya matritsasi va x o'zgaruvchiman. X echimlari sizning eigenvalues. Aytaylik, a, b, c sizning qadriyatlaringiz. Endi tizimlarni hal qiling [A - aI | 0], [A - bI | 0], [A - cI | 0]. Ushbu tizimlarning echimlar to'plamining asosini eigenvektorlar tashkil qiladi.
Uchburchak matritsaning aniqlovchi xususiyatini topish oson - bu shunchaki diagonali elementlarning mahsulidir. Eigenvallar darhol topiladi va shu matritsalar uchun eigenvektorlarni topish keyinchalik osonlashadi. [5]
  • Shuni yodda tutingki, satr-ekelon shakliga o'tish va uchburchak matritsani olish sizga evgenval qiymatlarini bermaydi, chunki satrlarni qisqartirish umuman matritsaning eigenvallarini o'zgartiradi.
Matritsani diagonallashtirishimiz mumkin o'xshashlik transformatsiyasi orqali qayerda o'zgarmas o'zgaruvchan asosli matritsa va faqat diagonali elementlarga ega bo'lgan matritsa. Ammo, agar hisoblanadi matritsa, u bo'lishi kerak Diagonalizatsiya qilinishi mumkin bo'lgan aniq eigenval qiymatlari.
  • Bizning holatda A = (1−413) (500−2) (1−413) )1.
  • Bu erda bir nechta diqqatga sazovor narsalar mavjud. Birinchidan, D ga o'xshaydi, chunki ular bir xil aniqlovchilarga ega, eigenvalues ​​va iz.
  • Diagonallashtirilganda, P dagi diagonal elementlarning pozitsiyalarini o'zgartirmasdan o'zgartira olmaysiz.
benumesasports.com © 2020