Algebraik tenglamalarni qanday faktor qilish kerak

Matematikada faktoring berilgan son yoki tenglamani hosil qilish uchun bir-biriga ko'payib ketadigan sonlar yoki ifodalarni topish harakati. Faktoring bu algebra muammolarini yechish uchun o'rganish uchun foydali ko'nikma; Kvadratli tenglamalar va ko'pxaridlarning boshqa shakllari bilan ishlashda barkamol omilni aniqlash qobiliyati deyarli zarur bo'lib qoladi. Faktoring yordamida echimni soddalashtirish uchun algebraik ifodalarni soddalashtirish uchun foydalanish mumkin. Faktoring sizga ba'zi mumkin bo'lgan javoblarni qo'lda hal qilish bilan solishtirganda ancha tezroq yo'q qilishga imkon beradi. [1]

Faktoring sonlari va asosiy algebraik ifodalar

Faktoring sonlari va asosiy algebraik ifodalar
Bitta raqamlarga qo'llanilganda faktoring ta'rifini tushunib oling. Faktoring tushunchasi oddiy, ammo amalda murakkab tenglamalarga qo'llanganda qiyin bo'lishi mumkin. Shu sababli, oddiy sonlardan boshlab faktoring tushunchasiga yaqinlashish osonroq, so'ngra ilg'or dasturlarga o'tishdan oldin oddiy tenglamalarga o'ting. Berilgan raqam bu raqamni berish uchun ko'paytiriladigan raqamlar. Masalan, 12 ning omillari 1, 12, 2, 6, 3 va 4, chunki 1 × 12, 2 × 6 va 3 × 4 barchasi 12 ga teng. [2]
  • Bu haqida o'ylashning yana bir usuli - bu berilgan sonning omillari bu teng bo'linadigan sonlardir.
  • 60 raqamining barcha omillarini topa olasizmi? Biz 60 raqamini har xil maqsadlarda ishlatamiz (bir necha daqiqada bir soniya, daqiqada bir soniya va boshqalar), chunki u raqamlarning etarlicha keng doirasiga teng ravishda bo'linadi. 60 ning omillari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 va 60 dir.
Faktoring sonlari va asosiy algebraik ifodalar
O'zgaruvchan iboralarni ham hisobga olish mumkinligini tushuning. Yolg'iz sonlarni aniqlash mumkin bo'lganidek, raqamli koeffitsientli o'zgaruvchilar ham aniqlanishi mumkin. Buning uchun o'zgaruvchining koeffitsienti omillarini topish kifoya. O'zgaruvchilarni qanday omillarga bo'lishini bilish, o'zgaruvchilar bir qismi bo'lgan algebraik tenglamalarni soddalashtirish uchun foydalidir.
  • Masalan, 12x o'zgaruvchisi 12 va x omillarining samarasi sifatida yozilishi mumkin. Biz 12x ni 3 (4x), 2 (6x) va hokazo sifatida yozishimiz mumkin, bunda 12 ning qaysi omillari bizning maqsadimizga eng mos keladi. Hatto 12 baravar ko'p omilga ham boramiz. Boshqacha qilib aytganda, biz 3 (4x) yoki 2 (6x) bilan to'xtashimiz shart emas - mos ravishda 3 (2 (2x) va 2 (3 (2x)) ni berish uchun 4x va 6x qiymatlarini olamiz. iboralar teng.
Faktoring sonlari va asosiy algebraik ifodalar
Ko'paytirishning tarqalish xususiyatini omil algebraik tenglamalarga qo'llang. Ikkala yolg'iz sonlarni va o'zgaruvchilarni koeffitsientlar bilan qanday qilib aniqlash haqida bilimlardan foydalanib, oddiy algebraik tenglamalarni algebraik tenglamadagi sonlar va o'zgaruvchilar bir-biriga o'xshash bo'lgan omillarni topish orqali soddalashtirish mumkin. Odatda, tenglamani iloji boricha sodda qilish uchun biz izlashga harakat qilamiz eng katta umumiy omil . Ushbu soddalashtirish jarayoni a, b va c har qanday sonlar uchun aytilgan ko'payishning taqsimot xususiyati tufayli mumkin. a (b + c) = ab + ac . [3]
  • Keling, misol muammosini sinab ko'raylik. Algebraik tenglamani faktor qilish uchun, avval 12x va 6 ning eng katta umumiy koeffitsientini topishga harakat qilaylik. 6 12x va 6 ga teng bo'linadigan eng katta son, shuning uchun 6 (2x +) tenglamani soddalashtirishimiz mumkin. 1).
  • Bu jarayon manfiy va kasrlar bilan tenglamalar uchun ham amal qiladi. x / 2 + 4, masalan, 1/2 (x + 8) gacha soddalashtirilishi mumkin va -7x + -21 raqamlari -7 (x + 3) ga qadar aniqlanishi mumkin.

Faktoring kvadrat tenglamalari

Faktoring kvadrat tenglamalari
Tenglama kvadratik shaklda ekanligiga ishonch hosil qiling (ax2 + bx + c = 0). Kvadratlar tenglamalari forma boltiga tegishli + bx + c = 0, bu erda a, b va c sonlar doimiy va a 0 ga teng bo'lmaydi (shuni unutmangki, a teng 1 yoki -1). Agar bitta o'zgaruvchini (x) o'z ichiga olgan tenglama bo'lsa, u bir yoki bir nechta x shartlarni ikkinchi kuchga o'tkazsa, siz odatda algebraik amallarni ishlatib tenglamadagi atamalarni tenglik belgisi va oqining bir tomonida 0 olish uchun o'zgartirishingiz mumkin. va boshqalar boshqa tomondan. [4]
  • Masalan, algebraik tenglamani ko'rib chiqaylik. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 ni x2 + 6x + 9 = 0 ga soddalashtirish mumkin, bu kvadrat shaklida bo'ladi.
  • X3, x4 va hokazo kabi kattaroq x kuchga ega bo'lgan tenglamalar kvadratik tenglamalar bo'la olmaydi. Ular kub tenglamalari, kvadrat tenglamalar va boshqalar, agar ushbu tenglamani x 2 ning kuchidan yuqori bo'lgan shartlarni yo'q qilish uchun soddalashtirish mumkin bo'lmasa.
Faktoring kvadrat tenglamalari
Kvadrat tenglamalarda a = 1, koeffitsient (x + d) (x + e), bu erda d × e = c va d + e = b. Agar sizning kvadrat tenglamangiz x shaklida bo'lsa + bx + c = 0 (boshqacha aytganda, x koeffitsienti bo'lsa) muddatli = 1), bu tenglamani omil qilish uchun nisbatan oddiy yorliqni ishlatish mumkin (lekin kafolatlanmagan). Ikkala tomon ko'paytiriladigan ikkita sonni toping va b qo'shmoq Ushbu d va e sonlarini topgach, ularni quyidagi iboraga joylashtiring: (x + d) (x + e) . Ushbu ikki atama, bir-biriga ko'paytirilganda kvadrat tenglamangizni hosil qiladi - boshqacha qilib aytganda, ular sizning kvadrat tenglamangiz omillari.
  • Masalan, x2 + 5x + 6 = 0. 3 va 2 ning kvadrat tenglamasini ko'paytirib, 6 ni hosil qilish uchun va 5 ni qo'shganda, bu tenglamani (x + 3) (x + 2) ga soddalashtirishimiz mumkin.
  • Ushbu asosiy yorliqning ozgina o'zgarishlari tenglamaning o'zida ozgina o'zgarishlar uchun ham mavjud: Agar kvadrat tenglama x2-bx + c shaklida bo'lsa, sizning javobingiz ushbu shaklda bo'ladi: (x - _) (x - _). Agar u x2 + bx + c shaklida bo'lsa, sizning javobingiz quyidagicha ko'rinadi: (x + _) (x + _). Agar u x2-bx-c shaklida bo'lsa, siz javobingizni (x + _) (x - _) shaklida olasiz.
  • Izoh: bo'sh joylardagi raqamlar kasrlar yoki kasrlar bo'lishi mumkin. Masalan, x2 + (21/2) x + 5 = 0 tenglama (x + 10) (x + 1/2) ga teng.
Faktoring kvadrat tenglamalari
Iloji bo'lsa, tekshirish orqali omil. Ishoning yoki ishonmang, murakkab bo'lmagan kvadratik tenglamalar uchun faktoring qabul qilingan vositalaridan biri muammoni o'rganishdir, so'ngra to'g'ri javob topmaguningizcha, mumkin bo'lgan javoblarni ko'rib chiqing. Bu shuningdek tekshirish orqali faktoring sifatida ham tanilgan. Agar tenglama forma axida bo'lsa + bx + c va a> 1, sizning aniq javobingiz (dx +/- _) (ex +/- _) shaklida bo'ladi, bu erda d va e nolga teng bo'lmagan doimiy konstantalar bo'lib, a ga ko'payadi. Y yoki e (yoki ikkalasi) 1 raqami bo'lishi kerak, garchi bu unchalik zarur emas. Agar ikkalasi ham 1 bo'lsa, siz yuqorida tavsiflangan yorliqdan foydalandingiz. [5]
  • Keling, misol muammosini ko'rib chiqaylik. 3x2 - 8x + 4 dastlab qo'rqinchli ko'rinadi. Biroq, 3 ning ikkita omili (3 va 1) borligini anglaganimizdan so'ng, javobimiz (3x +/- _) (x +/- _) shaklida bo'lishi kerakligini bilamiz. Bunday holda ikkala bo'sh joyga ham -2 ni qo'shish to'g'ri javobni beradi. -2 × 3x = -6x va -2 × x = -2x. -6x va -2x -8x ga qo'shiladi. -2 × -2 = 4, shunda ko'rishimiz mumkinki, qavslar ichida tasdiqlangan atamalar asl tenglamaga aylanish uchun ko'payadi.
Faktoring kvadrat tenglamalari
Kvadratni to'ldirib hal qiling. Ba'zi hollarda, kvadrat tenglamalarni maxsus algebraik identifikator yordamida tezda va osongina chiqarish mumkin. X shaklining har qanday kvadratik tenglamasi + 2x soat + h = (x + h) . Shunday qilib, agar sizning tenglamangizda b qiymati s qiymatingizning kvadratidan ikki baravar ko'p bo'lsa, tenglamani (x + (sqrt (c)) ga hisoblash mumkin) .
  • Masalan, x2 + 6x + 9 tenglamasi ushbu shaklga mos keladi. 32 ni 9 va 3 × 2 ni 6 ni tashkil qilamiz. Demak, ushbu tenglamaning faktik shakli (x + 3) (x + 3) yoki (x + 3) 2 ekanligini bilamiz.
Faktoring kvadrat tenglamalari
Kvadrat tenglamalarni yechish uchun omillardan foydalaning. Kvadratik ifodani qanday omil qilishingizdan qat'i nazar, u aniqlangandan so'ng, har bir omilni nolga teng qo'yish va echish orqali x qiymati uchun mumkin bo'lgan javoblarni topishingiz mumkin. Agar tenglamangizni nolga tenglashtiradigan x qiymatini izlayotgan bo'lsangiz, sizning ikkala omilingiz ham nolga teng bo'lgan x ning qiymati sizning kvadrat tenglamangiz uchun mumkin bo'lgan javobdir.
  • X2 + 5x + 6 = 0 tenglamaga qaytaylik. (X + 3) (x + 2) = 0 ga tenglashtirilgan ushbu tenglama. Agar omillarning har biri 0 ga teng bo'lsa, butun tenglama 0 ga teng bo'ladi, shuning uchun x uchun mumkin bo'lgan javoblar (x + 3) va (x + 2) 0 ga teng bo'lgan raqamlar. Bu raqamlar mos ravishda -3 va -2 dir.
Faktoring kvadrat tenglamalari
Javoblaringizni tekshiring - ularning ba'zilari tashqi ko'rinishga ega bo'lishi mumkin! Agar siz x uchun mumkin bo'lgan javoblarni topsangiz, ularning haqiqiyligini tekshirish uchun ularni asl tenglamangizga qayta ulang. Ba'zida siz topadigan javoblar qayta ulanganda asl tenglamani nolga teng bo'lishiga olib keladi. Biz bu javoblarni chaqiramiz va ularga ahamiyat bermang.
  • -2 va -3 ni x2 + 5x + 6 = 0 ga ulang. Birinchidan, -2: (-2) 2 + 5 (-2) + 6 = 0 4 + -10 + 6 = 0 0 = 0. Bu to'g'ri, shuning uchun -2 - bu to'g'ri javob.
  • Endi -3 ni sinab ko'raylik: (-3) 2 + 5 (-3) + 6 = 0 9 + -15 + 6 = 0 0 = 0. Bu ham to'g'ri, shuning uchun -3 ham javobdir.

Faktoring boshqa tenglama shakllari

Faktoring boshqa tenglama shakllari
Agar tenglama a2-b2 shaklida bo'lsa, uni (a + b) (ab) ga tenglang. Ikkala o'zgaruvchili tenglamalar asosiy kvadratlardan farq qiladi. Har qanday tenglama uchun a -b bu erda a va b 0 ga teng kelmasa, (a + b) (ab) ga tenglama omillari.
  • Masalan, 9x2 - 4y2 = (3x + 2y) (3x - 2y) tenglama.
Faktoring boshqa tenglama shakllari
Agar tenglama a2 + 2ab + b2 shaklida bo'lsa, uni (a + b) 2 ga tenglang. E'tibor bering, agar trinomial a shaklida bo'lsa - 2ab + b , faktura shakli biroz farq qiladi: (ab) .
  • 4x2 + 8xy + 4y2 tenglamani 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2 deb qayta yozish mumkin. Endi biz uning to'g'ri shaklda ekanligini ko'rishimiz mumkin, shuning uchun (2x + 2y) 2 ga tenglama omillari 2 ga bog'liqligini ishonch bilan ayta olamiz.
Faktoring boshqa tenglama shakllari
Agar tenglama a3-b3 shaklida bo'lsa, uni (ab) ga tenglashtiring (a2 + ab + b2). Va nihoyat, kublar va hatto yuqori tartibli tenglamalar aniqlanishi mumkinligi haqida eslatib o'tiladi, ammo faktoring jarayoni tezda to'sqinlik qiladigan darajada murakkablashadi.
  • Masalan, 8x3 - 27y3 (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2) omillari
Qanday qilib oddiy qo'shimchani hisobga olaman?
Ikkala son uchun umumiy omilni toping. Masalan, 6 + 8, 6 va 8 lar uchun ikkitaga tenglik. Keyin uni 2 (3 + 4) sifatida qayta yozishingiz mumkin.
Qanday qilib men -24x + 4x ^ 2 omilga aylantiraman?
Ikkala atamada ham 4x omil sifatida. Shuning uchun -24x + 4x² = 4x (-6 + x) = 4x (x - 6).
Sizga osonroq muammoni ko'rsata olasizmi? Menda 42r - 18 kabi omillar bor.
42r va 18 ning umumiy koeffitsientini toping, masalan. 6. Bu raqam qavsning tashqi tomonida bo'ladi, shuning uchun 6 (...). Keyin siz olgan 6 raqamiga asl raqam (lar) ni ajrating. Biz 7r-3 bilan yakunlaymiz. Bu oxirgi javobni olish uchun qavsning ichki qismiga o'tadi: 6 (7r-3). Javobingizni qavslarni yana kengaytirib tekshirishingiz mumkin: agar javob siz boshlagan narsaga mos bo'lsa, unda javob to'g'ri!
Sqrt [2 (ab) ^ 2 + (ac) ^ 2 + (bc) ^ 2) -a ^ 4-b ^ 4-c ^ 4] / 4. Ushbu tenglama Heron Formulasini isbotlovchi qismdir. Qanday qilib buni omil qilishni ko'rsatyapsiz?
"Ildizni toping" usulidan foydalaning. Uning nima ekanligini aytish katta ishora. A + b = c (buzilgan uchburchak) har birida sizning ifodangiz 0 ga teng bo'lishi kerak. Bu (a + bc) omil ekanligini anglatadi. Simmetriya bo'yicha (a-b + c) va (-a + b + c) ham omillar. Ularni ajratib oling va qolganlarini ko'ring.
Qanday qilib 4x ^ 3 + 8x ni faktor qilaman?
4x (x² + 2).
X ^ 2 + 6x + 9 ni qanday qilib faktor qilaman?
x² + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = (x + 3) ²
Qanday qilib men 3 - p omilni olaman?
Ikkala atamaga umumiy bo'lgan yagona omil -1. Shunday qilib, -3 - p = -1 (3 + p). Siz uni shunday yozishingiz ham mumkin - (3 + p). Qanday bo'lmasin, qiymat bir xil.
5a + ax - 2b + ni qanday qilib faktor qilaman?
a (5 + x) - b (2 - y).
2x ^ 2 - 7x-6 = 0 omillari qanday? Men buni yuqoridagi qoidalarning biriga moslashtira olmayman.
Siz haqsiz, bu omil emas.
5a - 10av qanday qilaman?
Ikkala atamani 5 va a sifatida koeffitsientlash mumkin, shuning uchun biz 5a ni qavs tashqarisida saqlaymiz: 5a (1x - 2v).
Algebra qilayotganda l faktor qanday aniqlanadi?
a -b omil hisoblanadi, a + b muhim emas
Qanday qilib doimiylikni omil qilish kerakligini eslang - bu sizga yordam berishi mumkin.
Faktoring jarayonida kasrlardan ehtiyot bo'ling va ular bilan to'g'ri va ehtiyotkorlik bilan ishlang.
Agar siz x shaklida trinomial bo'lsa + bx + (b / 2) , haqiqiy shakl (x + (b / 2)) . (Maydonni to'ldirayotganda sizda shunday holat bo'lishi mumkin.)
Esda tutingki, a0 = 0 (nol mahsulot xususiyati).
benumesasports.com © 2020