To'liq elliptik integrallarni qanday baholash mumkin?

Elliptik integrallar matematik va fizikaning ko'plab sohalarida vujudga keladigan maxsus funktsiyalardir. Umuman olganda, bu funktsiyalar elementar funktsiyalar nuqtai nazaridan yozilishi mumkin emas. Ushbu maqolada biz birinchi va ikkinchi turlarning to'liq elliptik integrallarini kuchlar seriyasi nuqtai nazaridan baholaymiz. Buni tushunishingiz tavsiya etiladi Beta funktsiyasi Davom etishdan oldin va u bilan bog'liq funktsiyalar.
Baholanadigan integralni sozlang. Birinchi birinchi turdagi to'liq elliptik integralni baholaymiz; ikkinchi tur unchalik farq qilmaydi va bir xil texnikani qo'llaydi. Biz trigonometrik shaklni baholaymiz, ammo Yakobining shakli uni yozishning mutlaqo tenglashtirilgan usuli ekanligini unutmang.
  • K (k) = ∫0π / 2dϕ1 − k2sin2⁡ϕ
Binomial qatorlar nuqtai nazaridan integralni yozing.
  • Binomial qator bu har qanday haqiqiy son uchun a.
  • X
  • E'tibor bering, biz ushbu integral davriylikni baholayapmiz.
Beta funktsiyasi yordamida integralni baholang.
  • Birinchidan, agar kerak bo'lsa, Gamma funktsiyasi nuqtai nazaridan binomial koeffitsientlarni kengaytiring. Aks holda, uni omillarga qarab qoldiring. Unutmangki, m! = Γ (m + 1).
  • Ikkinchidan, trigonometrik funktsiyalar nuqtai nazaridan Beta funktsiyasining ta'rifini eslang. Γ (a) Γ (β) 2Γ (a + β) = ∫0π / 2cos2a − 1⁡ϕsin2β − 1⁡ϕdϕ
  • Biz a = 1/2
Eyler aks ettirish identifikatoridan va Γ (1/2) = π ekanligidan foydalaning.
  • Eylerning ko'zgu identifikatori quyida keltirilgan. Γ (z) Γ (1 − z) = πsin⁡ (zz)
  • Agar z = 1/2 + m ga teng bo'lsak, ushbu formuladan foydalanib seriyamizni soddalashtirishimiz mumkin. (π (1/2 + m))
  • Biz (−1) msin⁡ (π (1/2 + m)) = 1
Ikkala faktorial identifikatordan foydalaning.
  • Ikkita faktorial identifikatsiya Gamma funktsiyasi bilan quyidagi tarzda bog'liq bo'lishi mumkin. Ushbu shaxsning kelib chiqishiga oid maslahatlarga qarang. (2 m− 1) !! = 2mΓ (1/2 + m) π
  • Keyin ushbu seriyani shunday soddalashtirishimiz mumkin. K (k) = π2∑m = 0∞ [(2m − 1) !! 2mm!] 2k2m
  • Ushbu qatorni faqat identifikatsiyadan foydalanganda (2m) !! = 2mm!,
Seriyani kengaytirish.
  • K (k) = π2 [1+ (12) 2k2 + (1⋅32⋅4) 2k4 + (1⋅3⋅52⋅4⋅6) 2k6 + ⋯]
  • Seriya darhol ajralib turadigan bir nechta xususiyatlarga ega. Birinchidan, kichkina k, uchun yuqori darajadagi atamalar, asosan faktoriallar tufayli cheklanganligini ko'rishimiz mumkin. Bu mayatnikni tahlil qilganda kichik burchakka yaqinlashish uchun asosdir.
  • Ikkinchidan, uning yaqinlashuv mintaqasi | k | <1. .
  • K = 1 holatiga fizik misol mayatnik 180 ° burchakdan chiqarilib, noturg'un muvozanat nuqtasini bildiradi. Ushbu elliptik integral nuqtai nazaridan yozilgan davr, so'ngra mayatnik hech qachon pasaymaydi.
Ikkinchi turdagi to'liq elliptik integral uchun seriyani tekshiring. Ushbu maqolada keltirilgan texnikadan foydalanib, ushbu integral uchun quvvat seriyasini ham topish mumkin.
  • E (k) = π2∑m = 0∞ [(2m − 1) !! (2m) !!] 2k2m1−2m
  • E (k) = π2 [1− (12) 2k21− (1⋅32⋅4) 2k43− (1⋅3⋅52⋅4⋅6) 2k65− ⋯]
5-bosqichda biz gamma funktsiyasi bilan bog'liq bo'lgan ikki tomonlama faktorial identifikatsiyadan foydalandik
  • Ushbu identifikatsiyani aniqlash qiyin emas, lekin bizga Legendre-ning takrorlanish formulasi kerak bo'ladi. Ushbu maqolani uning kelib chiqishi uchun qarang.
  • 1Γ (1/2 + m) = 22mπΓ (1 + m) Γ (1 + 2m) Γ (1/2 + m) = π22m (2m)! M! = Π2m (2m) (2m − 1) ⋯ (1 ) 2m (m) (m − 1) ⋯ (1)
  • E'tibor bering, m! Shuning uchun barcha tenglik shartlari bekor qilinadi.
  • Γ (1/2 + m) = π2m (2m) (2m − 1) (2m − 2) (2m − 3) ⋯ (1) 2 (m) 2 (m − 1) ⋯ 2 (1) = π2m ( 2m − 1) (2m − 3) ⋯ (1) = π2m (2m − 1) !!
bu
benumesasports.com © 2020