Poynting teoremasini qanday topish mumkin

Elektrodinamikada Poynting teoremasi elektromagnit maydon energiyasini saqlash to'g'risidagi bayondir. Ushbu derivatsiya davomida biz asosiy printsiplardan boshlaymiz, Poynting vektorini kiritamiz va teoremani differentsial shaklga aylantiramiz, bu erda energiya tejash ifodasini ko'rish oson.
Elektromagnit maydonning energiyasini eslang. Elektr va magnit maydonlar ikkalasi ham energiyani dalalarda saqlaydi. Bu energiyani energiya zichligi bilan tavsiflash mumkin va bu erda zichlik birlik hajmining energiyasini anglatadi.
  • Umumiy quvvatni butun hajmga qo'shib olishimiz mumkin. Quyidagi ibora, ularning qulonga qarshi turishiga qarshi statik zaryad taqsimotini yig'ish uchun zarur bo'lgan ishlarning va orqa emfga qarshi oqim hosil qilish uchun talab qilinadigan ishlarning yig'indisidir. Uem ​​= ∫V (ue + um) dV = ∫V (12ϵ0E2 + 12μ0B2) dV
  • Bu sohadagi energiyani tavsiflashi mumkin bo'lsa-da, energiya biron bir joyda joylashgan emas. Aksincha, u birlashtirilgan butun hajm bo'ylab taqsimlanadi.
  • Shuni yodda tutingki, U esa energiya zichligini anglatadi. Bu farq Poynting teoremasini 10 bosqichdagi differentsial shaklga aylantirishda ko'rinadi.
Lorentz kuchidan boshlang. Biz maydonlarni yaratadigan zaryad va joriy sozlashni olamiz va vaqtida Biroq, biz elektrodinamika bilan shug'ullanayotganimiz sababli, bizning zaryadimiz masofani bosib o'tadi ixtiyoriy cheksiz yo'nalishni ifodalaydi. Shu sababli, magnit kuchlar ishlamasligini yodda tutsangiz ham, elektromagnit kuch zaryad ustida ishlaydi.
  • dW = F⋅dl = q (E + v × B) ⋅vdt = qE⋅vdt
Oldingi tenglamani zaryad zichligi va oqim zichligi bilan taqqoslang. Biz buni bilamiz va shuning uchun biz o'ng tomonni quyida yozamiz.
  • dWdt = ∫V (E⋅J) dV
Faqat dalalar jihatidan quvvatni ifodalang. Biz qutulishimiz mumkin Amper-Maksvell qonunidan foydalanib.
  • ∇ × B = m0J + m0ϵ0∂E∂tJ = 1μ0 (∇ × B) −ϵ0E⋅∂E∂t
  • E⋅J = E⋅ [1µ0 (∇ × B) −ϵ0∂E∂t] = 1μ0 (E⋅ (∇ × B)) - ϵ0E⋅∂E∂t
Ikkala maydon ham o'zaro faoliyat mahsulot bo'lgan atama bilan ifodani yozish uchun, vektorni hisoblash identifikatoridan foydalaning. Faraday qonunini chaqirganda, bu aniq murakkablik hal qilinadi
  • ∇⋅ (E × B) = B⋅ (∇ × E) −E⋅ (∇ × B)
  • E⋅ (∇ × B) = - B⋅∂B∂t − ∇⋅ (E × B)
Nuqtali nuqta mahsulotini o'z ichiga olgan vaqt hosilasi bilan ifodalarni soddalashtiring. Qo'shimcha ½ omil mahsulot qoidalarini tan olish bilan bog'liq. Buni hosilasini olish orqali tasdiqlang
  • B⋅∂B∂t = ∂∂t (12B2)
  • E⋅∂E∂t = ∂∂t (12E2)
4-bosqichdagi tenglamaga almashtiring. O'ng tomonni hajmga qo'shib, tenglamani kuch jihatidan qayta yozing Ikkinchi o'qning ikkinchi qatorida ikkinchi integralni sirt integraliga aylantirish uchun divergensiya teoremasini chaqiramiz va 1-bosqichdan umumiy energiya uchun ifodani eslaymiz.
  • E⋅J = −∂∂t (12ϵ0E2 + 12μ0B2) −1μ0∇⋅ (E × B)
  • dWdt = −ddt∫V [12ϵ0E2 + 12μ0B2] dV − 1µ0∫V∇⋅ (E × B) dV = −dUemdt − 1µ0∮S⁡ (E × B) ^n ^ dA
Poynting vektorini aniqlang. Yuqoridagi tenglama shubhasiz biroz murakkab, shuning uchun narsalarni biroz soddalashtirish uchun Poynting vektorini keltiramiz Ushbu vektor maydon tomonidan tashiladigan birlikning vaqtiga, birlik maydoniga energiyani tavsiflaydi - boshqacha aytganda, bu energiya oqimining zichligi. Uning qanday ishlashiga oddiy misol, u elektromagnit to'lqin tarqalish yo'nalishi bilan bir xil yo'nalishda ishora qiladi.
  • S = E × Bµ0
Poynting vektorini energiyani tejash ifodasiga almashtiring. Quyidagi tenglama integral shaklida Poynting teoremasi. Ta'kidlanishicha, elektromagnit maydon (chap tomon) tomonidan zaryadlarni taqsimlash bo'yicha amalga oshirilgan ishlar maydonda saqlanadigan energiya hajmining pasayishiga (o'ngdagi birinchi atama), hajmni chegaralagan sirt orqali chiqadigan energiyani olib tashlanganiga teng. (o'ngdagi ikkinchi muddat).
  • dWdt = −dUemdt −S⁡S⋅n ^ dA
Poynting teoremasini differentsial shaklga aylantiring. Bu hisob-kitoblar uchun amaliy bo'lmasada, bu bizga energiyani tejashni aniqroq ko'rishimizga imkon beradi.
  • Birinchidan, zaryadlar bo'yicha bajarilgan ishlar ularning mexanik energiyasini oshiradi, deb bilamiz, shuning uchun mexanik energiya zichligini umW
  • Endi biz quyida joylashgan dalalarning energiya zichligini eslaymiz. uem = 12ϵ0E2 + 12μ0B2
  • Bularni Poynting teoremasiga almashtiring va sirt integralini hajm integraliga aylantirish uchun divergensiya teoremasini chaqiring. ddt∫V (umech + uem) dV = −∫V (∇⋅S) dV
  • Endi biz integrallarni bitta yaxlit integral ostiga qo'yamiz va Poynting teoremasini differentsial shaklda olamiz. ∂∂t (umech + uem) = - ∇⋅S
  • E'tibor bering, ushbu shaklda Poynting teoremasi zaryadni saqlash uchun ifodaga o'xshash.
benumesasports.com © 2020