Mantiqiy o'sishni qanday olish mumkin

Logistik funktsiya - bu populyatsiya o'sishini modellashtirish uchun keng foydalaniladigan S shaklidagi funktsiya. Aholi sonining o'sishi cheklangan manbalar bilan cheklangan, shuning uchun biz tizimning o'tkazish qobiliyatini joriy qilamiz bunda populyatsiya asemptomatik ravishda tomon intilmoqda. Shuning uchun logistik o'sishni quyidagi differentsial tenglama bilan ifodalash mumkin qayerda bu aholi, vaqt, va doimiydir. Biz aniq ko'rishimiz mumkinki, populyatsiya uning yuk ko'tarish qobiliyatiga intilayotganda, uning o'sish sur'ati 0 ga pasayadi. Yuqoridagi tenglama aslida Bernoulli tenglamasining alohida holidir. Ushbu maqolada biz logistika o'sishini o'zgaruvchilarni ajratish va Bernoulli tenglamasini echish orqali olamiz.

O'zgaruvchilarni ajratish

O'zgaruvchilarni ajratish
Alohida o'zgaruvchilar.
  • 1P (1 − PL) dP = kdt
O'zgaruvchilarni ajratish
Qisman kasrlarga bo'linadi. Chap tarafdagi denominator ikkita atamani o'z ichiga olganligi sababli, biz ularni oson birlashtirish uchun ajratishimiz kerak.
  • Chap tomonni LL
  • A
O'zgaruvchilarni ajratish
Ikkala tomonni ham birlashtiring.
  • ∫1PdP + ∫1L − PdP = ∫kdtln⁡ | P | ⁡ln⁡ | L − P | = kt + C
O'zgaruvchilarni ajratish
P ni izolyatsiya qiling. Biz ikkala tomonni ham inkor etamiz, chunki loglarni birlashtirganda biz xohlaymiz soddaligi uchun pastki qismida bo'lish. Har doimgidek, hech qachon ta'sir qilmaydi, chunki bu o'zboshimchalik bilan.
  • −ln⁡ | P | + ln⁡ | L − P | = −kt + Cln⁡ | L − PP | = −kt + C
O'zgaruvchilarni ajratish
P uchun echim toping. Biz ruxsat berdik va bu ortiqcha-minus belgisi tomonidan ta'sirlanmaganligini tan oling, shunda biz uni bekor qilishimiz mumkin.
  • ln⁡ | L − PP | = −kt + C | L − PP | = e − kt + CL − PP = ± Ae − ktLP − 1 = Ae − ktPL = 1Ae − kt + 1
  • P = LAe − kt + 1
  • Yuqoridagi tenglama logistik o'sish muammosining echimi bo'lib, unda logistika egri chizig'i ko'rsatilgan. Birinchi tartibli differentsial tenglamani kutganimizdek, boshlang'ich populyatsiya tomonidan aniqlanadigan yana bir doimiy A, mavjud.

Bernulli tenglamasi

Bernulli tenglamasi
Logistik differentsial tenglamani yozing. O'ng tomonni kengaytiring va birinchi buyurtma muddatini chap tomonga o'tkazing. Ushbu tenglamaning berilgan chiziqli emasligini aniq ko'rishimiz mumkin muddatli. Umuman olganda, chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamalar elementar funktsiyalar nuqtai nazaridan yozilishi mumkin bo'lgan echimlarga ega emas, ammo Bernoulli tenglamasi muhim istisno hisoblanadi.
  • dPdt − kP = −kLP2
Bernulli tenglamasi
Ikkala tomonni −P − 2 ga ko'paytiring. Bernulli tenglamalarini yechishda biz ko'paygan bo'lar edik qayerda noma'lum muddatli darajani bildiradi. Bizning holatda, bu 2 ga teng.
  • −P − 2dPdt + kP − 1 = kL
Bernulli tenglamasi
Tug'ilgan atamani qayta yozing. Buni ko'rish uchun zanjir qoidasini orqaga surishimiz mumkin Endi tenglama chiziqli bo'ladi
  • dP − 1dt + kP − 1 = kL
Bernulli tenglamasi
P − 1 uchun tenglamani yeching. Birinchi tartibli differentsial tenglamalar uchun standart sifatida biz integratsiya koeffitsientdan foydalanamiz qayerda ning koeffitsienti hisoblanadi aniq tenglamaga aylantirish. Shuning uchun bizning integratsiyalashuv omilimiz
  • ektdP − 1 + (kP − 1 − kL) ektdt = 0
  • ∫ektdP − 1 = P − 1ekt + R (t)
  • R (t) = ∫ − kLektdt = −1Lekt
  • 1Pekt − 1Lekt = C
Bernulli tenglamasi
P ni izolyatsiya qiling. Biz differentsial tenglamani yechdik, lekin u chiziqli edi shuning uchun biz javobimizning javobini olishimiz kerak.
  • 1P − 1L = Ce − ktL − PPL = Ce − ktL − P = PLCe − ktL = P (1 + LCe − kt)
Bernulli tenglamasi
Yechimga keling. Qayta yozing yangi doimiy sifatida
  • P = L1 + Ae kt
benumesasports.com © 2020