Chiziq integrallarini qanday hisoblash mumkin

Chiziqli integrallar bu bir o'zgaruvchan hisoblashda birinchi marta o'rganilganidek, integratsiyaning tabiiy umumlashishi. Birlashtirilishi kerak bo'lgan oraliqning o'rniga, chiziq integrallari ikki yoki undan ko'p o'lchamlarda aniqlanishi mumkin bo'lgan egri chiziqni bog'laydigan ikki nuqta uchun chegaralarni umumlashtiradi. Integratsiya qilinadigan funktsiya skalalar yoki vektor maydoni bilan aniqlanishi mumkin, ikkinchisi esa dasturlarda ancha foydali. Bir o'zgaruvchan integratsiya singari, chiziqli integrallar tegishli fundamental teoremaga ega, bu esa baholashni ancha osonlashtiradi.

Skalar maydonlari

Skalar maydonlari
Rianna summasining aniqlanishini chiziq integrallariga chiziq integrallari bo'yicha aniqlang. Biz o'z vazifamizni xohlaymiz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyasi bo'lish va bizning differentsial elementimiz faqat egri o'ziga va unga bog'liq bo'lishi kerak emas biz foydalanadigan koordinatalar tizimi. Yuqoridagi diagrammadan ko'rinib turibdiki, biz bajaradigan narsa bu bitta o'zgarmas hisoblarda o'rganilganidek, egri chiziq ostidagi maydonni umumlashtirish bo'lib, uning yo'li faqat x o'qi bilan cheklangan. Ushbu bosqich chiziq integrallari bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun zarur emas, faqat formulaning qanday paydo bo'lishi haqida ma'lumot beradi.
  • limΔsi → 0∑i = 1nf (xi, yi) Δsi
  • Ushbu shakl sizga tanish bo'lib tuyulishi kerak. Biz balandligi f (xi, yi)
Skalar maydonlari
T jihatidan integrandiyani qayta aniqlang. Yuqoridagi integral haqiqat bo'lsa-da, unchalik foydali emas, chunki hisob-kitoblar tezda klonkaga aylanishi mumkin. Shubhasiz, biz bilan ishlash uchun koordinatalar tizimi kerak - biz qulaylik uchun tanlashimiz mumkin bo'lgan tizim.
  • ∫Cxy4ds,
  • Qutb koordinatalariga aylantirish orqali takrorlang. Ushbu parametrizatsiyani doira tenglamasiga qayta ulash va cos2⁡t + sin2⁡t = 1 trigonometrik identifikator yordamida tekshirish mumkin.
Skalar maydonlari
T jihatidan differentsial elementni qayta aniqlang. Bizning integrand nuqtai nazaridan bizning differentsial elementimiz ham shunday qiladi.
  • S
  • X
  • Ark uzunligiga almashtiring. ds = (- 4sin⁡tdt) 2+ (4cos⁡tdt) 2 = 4dtsin2⁡t + cos2⁡t = 4dt
Skalar maydonlari
T qiymatlari nuqtai nazaridan chegaralarni belgilang. Parametrizatsiya qilishimiz bizni qutb koordinatalariga aylantirdi, shuning uchun bizning chegaralarimiz burchak bo'lishi kerak. Biz aylananing o'ng yarmini tavsiflovchi egri bilan shug'ullanmoqdamiz. Shuning uchun bizning chegaralarimiz bo'ladi ga
  • ∫ − π / 2π / 2 (4cos⁡t) (4sin⁡t) 44dt
Skalar maydonlari
Integralni baholang. Bu muhim qadamda biz buni tan olamiz bu teng funksiya, shuning uchun chegaralarni soddalashtirish uchun 2 faktorini tortib olish mumkin.
  • ∫Cxy4ds = 46∫ − π / 2π / 2cos⁡tsin4⁡tdt, u = sin⁡t = 46∫ − 11u4du = (22) 62∫01u4du = 2135

Vektorli maydonlar

Vektorli maydonlar
Rimann summasining aniqlanishini vektor maydonlarida aniqlangan chiziqli integrallarga qo'llang. Endi biz vektorli maydonlar bilan ish olib borganimizda, bu sohadagi egri chiziqning differentsial elementlari (birlamchi tebranuvchi vektorlar) maydonning o'zi bilan qanday o'zaro bog'lanishini topishimiz kerak. Ilgari bo'lgani kabi, bu qadam faqatgina integral qanday olinganligini ko'rsatish uchun bu erda.
  • limΔri → 0∑i = 1nF (ri)
  • ∫CF (r) ⋅dr
  • Bu erda nuqta mahsuloti to'g'ri tanlov ekanligi ayon bo'ladi. Vektor maydonining egri chiziqqa qo'shilgan yagona hissasi bu egri chiziqqa parallel bo'lgan tarkibiy qismlardir. Ishning jismoniy misoli sizning sezgiingizni boshqarishi mumkin, chunki hech qanday harakat harakat yo'nalishiga perpendikulyar bo'lgan kuch bilan amalga oshirilmaydi, masalan, tekis yo'lda avtomobilda harakat qiladigan tortishish. Bularning barchasi vektor maydoni egri chiziqning har bir tarkibiy qismiga alohida harakat qilishidan kelib chiqadi.
Vektorli maydonlar
T jihatidan integrandiyani qayta aniqlang. Avvalgidek, biz integralimizni qulay koordinatalar tizimiga yozishimiz kerak.
  • Integral ∫CF⋅dr,
Vektorli maydonlar
T jihatidan differentsial elementni qayta aniqlang.
  • R
  • Differentsialni hisoblang. dr = dti + ntn − 1dtj
Vektorli maydonlar
T qiymatlari nuqtai nazaridan chegaralarni belgilang. Ifodani quyidagiga almashtirish orqali nuqta mahsulotini hisoblang .
  • ∫01 [(t2tn − tn) i + ((t) (t2n)) j] ⋅ [dti + ntn − 1dtj] ∫01 (tn + 2 − tn + nt3n) dt
Vektorli maydonlar
Integralni baholang.
  • ∫CF⋅dr = 1n + 3−1n + 1 + n3n + 1
  • Ushbu ifoda har qanday quvvat funktsiyasi uchun amal qiladi, shuning uchun n, ni olsak, chegara x o'qi bo'ylab ko'tarilayotgan egri chiziqni tasvirlaydi, ikkinchisi egri chiziqni tasvirlaydi. y o'qi kesishgan. Quyida bir nechta misollar keltirilgan.
  • n = 2: ∫CF⋅dr = 1 (2) + 3−1 (2) +1+ (2) 3 (2) + 1 = 15−13 + 27
  • n = ∞: ∫CF⋅dr = limn → ∞ (1n + 3−1n + 1 + n3n + 1) = 13

Gradient teoremasi

Gradient teoremasi
Hisoblashning asosiy teoremasini umumlashtiring. Fundamental teorema hisoblashdagi eng muhim teoremalardan biridir, chunki u funktsiyani antiviruslari bilan bog'laydi va shu bilan teskari operatorlar singari integratsiya va differentsiatsiyani o'rnatadi. Bu chiziq integrallariga taalluqli gradient teoremasi Chiziq integrallarining asosiy teoremasi sifatida ham tanilgan va vektor funktsiyasini bog'laydigan kuchli ifodadir skalyar gradienti sifatida qayerda potentsial deyiladi. Quyida egri chiziq uning ikkita oxirgi nuqtasini bog'laydi ga o'zboshimchalik bilan.
  • ∫CF⋅dr = f (b) −f (a)
  • F = ∇f vektor maydonini konservativ deb belgilaydi. Shuning uchun, konservativ maydonlar yo'l-mustaqillik xususiyatiga ega - ikkita oxirgi nuqta orasidagi qaysi yo'ldan qat'i nazar, integral bir xil bo'lishini baholaydi. Buning teskarisi to'g'ri - yo'l mustaqilligi konservativ maydonni anglatadi.
  • Ushbu muhim xususiyatning tasdig'i shundan iboratki, konservativ F
  • Shubhasiz, konservativ sohalarni konservativ bo'lmagan sohalarga qaraganda baholash osonroq. Funktsiyaning konservativligini yoki yo'qligini tekshirish, shu sababli chiziq integrallarini baholash uchun foydali usul bo'ladi. Ushbu qismning qolgan qismi konservativ sohalar bilan ishlaydi.
Gradient teoremasi
Mumkin bo'lgan funktsiyani toping. Hisoblash uchun zerikarli ajralmas narsa bo'lmasligi uchun, biz shunchaki potentsialni topib, oxirgi nuqtalarda baholay olamiz.
  • F = (2xy2 − y2 + 2x) i + (2x2y − 5−2xy) j, Esda tutingki, konservativ maydonlar yo'ldan mustaqil, shuning uchun biz gradient teoremasidan foydalanishimiz mumkin.
Gradient teoremasi
Har bir o'zgaruvchiga nisbatan qisman birlashtiring. Vektor maydonining har bir tarkibiy qismi potentsialning qisman hosilasidir Shuning uchun ushbu potentsialni tiklash uchun har bir komponentni bir xil o'zgaruvchiga nisbatan birlashtirishimiz kerak. Bu erda aytilgan ogohlantirish shundan iboratki, bu jarayon faqat dastlabki funktsiyaning bir qismini tiklashi mumkin, shuning uchun bu bosqich umuman komponentlarning har biri bilan bajarilishi kerak.
  • ∫∂f∂xdx = f + G (y) + C
  • ∂f∂ydy = f + H (x) + C
  • "Integratsion doimiylari" G (y)
Gradient teoremasi
Integratsiya shartlarini to'ldiring. E'tibor bering va Integrallarni bajarish bilan bitta o'zgaruvchan atamalar aniqlandi. Ushbu atamalar boshqa baholashda integratsiyaning doimiylari bilan yoritilgan. Haqiqiy doimiy hali ham mavjud, ammo bizning maqsadlarimiz uchun biz bunga beparvo bo'lishimiz mumkin. Shuning uchun potentsial funktsiyani doimiygacha topdik.
  • f (x, y) = x2y2 − xy2 + x2−5y
Gradient teoremasi
Oxirgi nuqtalarda baholang. Integratsiyalashning bu jarayoni nuqta mahsulotini o'tkazib yuboradi va agar biz jihatidan parametrlashtirishni talab qilsa, tartibsiz integratsiyani oldini oladi.
  • ∫CF⋅dr = f (2,1) −f (0,2) = 11
benumesasports.com © 2020